[Unityshader学习三,数学基础]

2022-08-09 本文已影响0人花小邪丶

左手右手坐标系,

想象走路状态, 竖直向上为Y,前方为Z,左手摆向前,右手方向为X,就是左手系,右手摆向前,左手方向为X,即为右手系. 或者大拇指X,食指Y,中指Z, 使其互相垂直,即可组成左右手系

点和矢量

向量(矢量):模和方向

标量:只有大小没有方向

矢量运算

k=(k,k $v_{y}$ , k $v_{z}$ ）

$\vec{a}$ + $\vec{b}$ =( $a_{x}$ + $b_{x}$ , $a_{y}$ + $b_{y}$ , $a_{z}$ + $b_{z}$ )

矢量的模

| $\vec{v}$ |= $\sqrt{v_{x}^2 + v_{y}^2 + v_{z}^2 }$

单位矢量:

模长为1, 也称被归一化的矢量 $\hat{v}$ = $\frac{\vec{v} }{|\vec{v} |}$

矢量的点积(内积)

结果是个数值

矢量的叉积(外积)

结果是个矢量, 方向用右手判断

矩阵

矩阵和标量乘法

矩阵和矩阵乘法

性质:

特殊的矩阵:

1,方块矩阵(方阵), 行列数目相等

对角元素, 方阵的对角元素指的是行号和列号相等的元素

2,对角矩阵,除了对角元素外的所有元素都为0的矩阵

单位矩阵(对角元素为1), $I_{n}$

3,转置矩阵 $M^T$

$M_{ij}^T$ = $M_{ji}$

性质一:矩阵转置的转置等于原矩阵. $(M^T )^T$ = M

性质二:矩阵串接的转置等于反向串接各个矩阵的转置。 $(AB)^T$ = $B^T$ $A^T$

4,逆矩阵 $M^-1$ (方阵才有逆矩阵)

可逆(非奇异), 不可逆(奇异)

性质一: 逆矩阵的逆矩阵是原矩阵本身。

性质二:单位矩阵的逆矩阵是它本身。

性质三:转置矩阵的逆矩阵是逆矩阵的转置。

性质四:矩阵串接相乘后的逆矩阵等于反向串接各个矩阵的逆矩阵。

5, 正交矩阵. 方阵M和它的转置矩阵的乘积是单位矩阵

标准正交基,长度为1

6,变换

线性变换:缩放,旋转,错切,镜像,正交投影

非线性变换:平移

7,分解基础变换矩阵

左上角的矩阵

M_{3*3}

用于表示旋转和缩放，

t_{3*1}

用于表示平移,

0_{1*3}

是零矩阵右下角的元素就是标量1

平移矩阵

缩放矩阵

绕X轴旋转

\theta

角

绕Y轴旋转

\theta

角

绕Z轴旋转

\theta

角

空间变换

法线变换

变换矩阵

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