分形——自相似性与无限

无边的奇迹源自简单规则的无限重复。——benoit mondelbrot

人类的理性的认知范围总是在不断扩大，从离散数学到无理数的发现引发了第一次数学危机，再到复数的引入进一步扩大了数系。以前人们对于维度的认识也是限于整数维度的（这有点像之前毕达哥拉斯学派对于整数的坚持），超立方体的出现，数学家对高维坐标的构造，都是限于离散维度的。分形的出现，引入了豪斯道夫维度（即分数维度）来描述其特殊的存在维度，一下子让人类对维度的认知进入了另一个层次——即维度是连续的而非离散的。

豪斯道夫维度的引入最初见于一个处处不可导的曲线的构造和三分康托集。康托构造了这样的一个集合：对于一条长度为一的线段，将其等份成三分，舍去中间的一份，再对剩下的两份进行相同的操作无限次，最终相当于得到了一个离散的点集，即康托集。虽说经无数次操作相当于一个离散点集，但说其为点集又有点过。豪斯道夫维度可以描述经无数次操作得到的集合的维度。例正方体的边长之比为1:x，体积之比为1:x^3，其豪斯道夫维度为3，也是三维。对于康托集的维度计算，一个康托集包含两个子集，相似比为1:3，则其豪斯道夫维度为log3 （2），是介于点和线之间的维度。

引入豪斯道夫维度来描述分形图形的维度，因为分形的构造是经无数次简单规则迭代形成，一般的分形图形的维度介于整数维度之间。分形图形打破了传统的维度观。正是因为经过无数次相同的操作，使分形图形具有自相似性。这种分数维度的形成也是因为其自相似比与其所占空间比的关系不为整数。

自相似，即图形的每一部分与原图相似，无限放大均是与原图相似的。一个很美的分形图形，科赫雪花便很好的展现了这种自相似性。其构造方式如下：对于一个等边三角形的每一条边三等分，将中间的一边换成等长的两边，再对每一条边进行相同的操作无限多次，即可得到科赫雪花。对于每一条边，包含4个科赫曲线，相似比为1:3，科赫雪花的豪斯道夫维度为log3 （4），介于一维和二维之间。每一条科赫曲线的每一条小边又是另一条科赫曲线。这是自相似性的体现。

正是这种因无限次相同操作引起的自相似性，引发了一场不仅在数学界的革新，还在现代哲学的世界观和方法论上的革新。这种自相似性与老子的“人法地，地法天，天法道，道法自然”和莱布尼兹的“单子”相似。这种自相似性，给出了一种从局部感知整体的思想，给出了人类感知无限的可能。

分形的另一美丽之处即为有限与无限的结合。再接着说科赫曲线吧，每一次操作，一个科赫曲线包含4个科赫曲线，长度变为1／3，则每一次操作之后，长度增加4／3，进行无限次操作之后长度增加（4/3）^n，这是一个趋近正无穷的数，即无数次操作之后，长度变为正无穷。但是科赫雪花的面积收敛到4/5 － 4/5 ＊ （4/9）^n，趋近于4/5，是一块有限的面积，这是有限的面积和无限的长度的结合。这种有限与无限的结合，有违常理，却又客观存在。曼德尔布罗特提出分形这一课题时的论文《英国的海岸线有无限长》 ，英国的面积有限，却拥有无限长的海岸线，现在测量海岸线也是一个难题。又如人体表面积的测量，人体表面介于二维和三维之间。英国海岸线的豪斯道夫维度为1。26，介于一维和二维之间。这种在低纬度无限，高维度有限的存在，连接了有限和无限。这又是分形引发的另一个革新。

分形的另一美丽之处便是结合了数学中的数形结合与极限思想。分形的皇冠当属是曼特尔布罗特集。对于复数函数f（x）＝ x ^ 2 ＋ c，

c取不同的复数，关于x的函数都有在一定范围内的x的取值使f（x）迭代无数次的值约束在一定范围内。对于满足条件的的复数c的取值即为曼特尔布罗特集。在复平面上表示曼特尔布罗特集，将得到一个美丽的分形图形。其构造，通过迭代无数次，使函数值约束在有限范围内，结合了有限与无限；在复平面可以表示集合元素的取值，体现了数形结合。无论从哪个方面来看都是美丽的。曼特尔布罗特集的局部放大图曾被用于制作一串钻石项链，但我并不想用应用来修饰其美丽，我仅想用纯数学的方式来描述它的美丽：令fc（x）＝ x ^ 2 + c, {c | lim fc^n(0) /=  无穷} （原谅QQ没有公式编辑器 QAQ）。曼特尔布罗特集仅由简单的函数迭代形成，一个简单的操作进行无限多次形成美丽的分形图形。其发现者曼特尔布罗特曾说过：无边的奇迹源自简单规则的无限重复。正如天文学不止是一堆望远镜，数学不只是一堆公式。

我一直认为数学中，科学中，哲学中的一些思想是相通的，正如同之前我认为对称思想的美丽，分形的自相似性也将作为另一个基本思想，它将提供一种以小观大的可能，但又无法完全的在低维观察全局。我也一直认为无限是一种很奇特的思想，以前有一位物理学家说过这么一句话“当物理学家研究到最后，就会发现研究相对论和量子力学得到的是同一个东西”。前者研究宏观，后者研究微观，一个是极大，一个是极小，无限之美。人类对于宇宙的探索的广度还在扩大，粒子的微小也还在突破，创生之柱与下夸克一样揭示着同一真理。分形统一了有限和无限，并以其自相似性给我们无限的暗示。分形提出较晚，于上世纪初才提出，但是这一课题将为我们的理性探索本源的一些东西提供另一种思想。

期待进一步发展的分形带给人类的革新。

——写于高三