概率论（六）：样本及抽样分布

2020-09-12 本文已影响0人逸无无争

随机样本

当研究有关对象的某项数量指标时，一般会做与之相联系的随机试验。将试验的全部可能的观察值称为总体，每一个可能观察值称为个体，总体所包含的个体的个体数称为总体的容量。容量有限的称为有限容体，无限的则称为无限总体。

$X$ 是具有分布函数 $F$ 的随机变量，若 $X_1,X_2,\dots,X_n$ 是具有同一分布函数 $F$ 的，相互独立的随机变量，则称 $X_1,X_2,\dots,X_n$ 为从分布函数 $F$ 得到的容量为 $n$ 的简单随机样本，简称样本，它们的观察值 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 称为样本值，又称为 $X$ 的 $n$ 个独立值。

抽样分布

设 $X_1,X_2,\dots,X_n$ 是来自总体 $X$ 的一个样本， $g(X_1,X_2,\dots,X_n)是X_1,X_2,\dots,X_n$ 的函数，若 $g$ 中不含未知参数，则称 $g(X_1,X_2,\dots,X_n)$ 是一统计量

样本平均值： $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$
样本方差： $S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \left ( X_{i} -\bar{X}\right )^{2}=\frac{1}{n-1}\left ( \sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n\bar{X}^{2} \right )$
样本标准差： $S=\sqrt{S^{2}}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left ( X_{i} - \bar{X} \right )^{2} }$
样本 $k$ 阶原点矩： $A_k = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{k},k=1,2,\cdots$
样本 $k$ 阶中心距： $B_{k}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( X_{i}-\bar{X} \right )^{k},k=1,2,\cdots$

$\chi ^{2}$ 分布

设 $X_1,X_2,\dots,X_n$ 是来自总体 $N(0,1)$ 的样本，则称统计量 $\chi^2 =X_1^2+X_2^2+\dots+X_n^2$ 服从自由度为 $n$ 的 $\chi$ 分布，记为 $\chi^2 \sim \chi^2(n)$

可加性：设 $\chi_1^2 \sim \chi^2(n_1),\chi_2^2 \sim \chi^2(n_2)$ ,并且 $\chi_1^2,\chi_2^2$ 相互独立，则有 $\chi_1^2+\chi_2^2 \sim \chi^2(n_1+n_2)$
$E(\chi^2)=n,D(\chi^2)=2n$
对于任意给定的正数 $\alpha,0<\alpha<1$ ,称满足条件 $P\left \{\chi^{2} > \chi_{\alpha }^{2}\left ( n \right ) \right \}=\int_{\chi _{\alpha }^{2}\left ( n \right )}^{\infty }f\left ( y \right )dy=\alpha$ 的点 $\chi_\alpha^2(n)$ 为上 $\alpha$ 位点

$t$ 分布

设 $X\sim N(0,1),Y\sim \chi^2(n)$ ，且 $X,Y$ 相互独立，则称随机变量 $t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布，记作： $t\sim t(n)$

当 $n$ 足够大时， $t$ 分布近似于 $N(0,1)$ 分布

$t$ 分布的分位点：对于任意给定的正数 $\alpha,0<\alpha<1$ ,称满足条件 $P\left \{t > t_\alpha^2 \left ( n \right ) \right \}=\int_{t _{\alpha }^{2}\left ( n \right )}^{\infty }f\left ( y \right )dy=\alpha$ 的点 $t_\alpha^2(n)$ 为上 $\alpha$ 位点

$t_{1-\alpha}(n)=-t_\alpha(n)$

$F$ 分布

设 $U\sim \chi^2(n_1),V\sim \chi^2(n_2)$ ,且 $U,V$ 相互独立，则称随机变量 $F=\frac{U/n_1}{V/n_2}$ 服从自由度为 $(n_1,n_2)$ 的 $F$ 分布，记作 $F\sim F(n_1,n_2)$

$\frac{1}{F} \sim F(n_2,n_1)$

$F$ 分布的分位点：对于任意给定的正数 $\alpha,0<\alpha<1$ ,称满足条件 $P\left \{F > F_\alpha \left ( n_1,n_2 \right ) \right \}=\int_{F _{\alpha }\left ( n_1,n_2 \right )}^{\infty }f\left ( y \right )dy=\alpha$ 的点 $F_\alpha(n_1,n_2)$ 为上 $\alpha$ 位点

$F_{1-\alpha}(n_1,n_2)=\frac{1}{F_\alpha(n_2,n_1)}$

正态总体的样本均值与样本方差的分布

设总体 $X$ 的均值为 $\mu$ ,方差为 $\sigma^2$ , $X_1,X_2,\dots,X_n$ 是来自 $X$ 的一个样本， $\overline{X},S^2$ 分别是样本的均值和方差，则有： $E(\overline{X})=\mu,D(\overline{X})=\sigma^2/n,E(S^2)=\sigma^2$

设 $X_1,X_2,\dots,X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 的样本,则

$\overline{X}\sim N(\mu,\sigma^2/n)$
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2 (n-1)$ , $\overline{X}$ 与 $S^2$ 相互独立
$\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$

设 $X_1,X_2,\dots,X_n$ 与 $Y_1,Y_2,\dots,Y_n$ 是来自正态总体 $N(\mu_1,\sigma^2_1)$ 和 $N(\mu_2,\sigma^2_2)$ 的样本, $\overline{X},\overline{Y}$ 分别是这两个样本的样本均值， $S^2_1,S^2_2$ 则是其样本方差，则：

$\frac{S^2_1/S^2_2}{\sigma^2_1,\sigma^2_2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$
当 $\sigma^2_1=\sigma^2_2=\sigma^2$ 时， $\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1} +\frac{1}{n_2} }}\sim t(n_1+n_2-2)$ ,其中 $S^2_w=\frac{(n_1-1)S^2_1+(n_2-1)S^2_2}{n_1+n_2 - 2}$