NumPy快速入门笔记

我正以Python作为突破口，入门机器学习相关知识。出于机器学习实践过程中的需要，我快速了解了一下NumPy这个科学计算库的使用方法。下面记录相关学习笔记。

简介

NumPy是一个科学计算库。结合Python生态系统的其它库，如SciPy、matplotlib等，NumPy可以玩出比MatLAB还出彩的花样。

NumPy的主要核心在于其定义了一个强大的N维数组类型ndarray。本文内容全部围绕着这个类型展开，主要参考NumPy官网的QuickStart教程和BroadCast文档进行讲述，
对于我认为很基础的内容可能会进行省略，若有不理解的地方请参考源文档。

围绕N维数组，NumPy定义了许多函数，例如numpy.sin、numpy.cos、numpy.exp等。接下来的内容中将用np表示numpy模块，即假设我们已经执行了下面代码：

import numpy as np

认识ndarray

ndarray是一个N维数组，我觉得它跟线性代数中介绍的空间的概念很贴近。

创建ndarray实例

手动创建ndarray实例可以使用np.array函数。

array = np.array([1,2,3]) # 创建一个含有三个元素一维数组

注意这个函数的参数是一个list列表对象，而不是多个数字。即np.array(1,2,3)是错误的。如果传递的参数list是一个嵌套的list，np.array函数可以自动根据其嵌套方式生成多维数组。另外还可以通过关键词参数dtype，定义数组元素的类型。默认地，新数组的元素类型为np.float64。

除了np.array函数，我们还可以用np.zeros、np.ones、np.empty、np.arange、np.linspace、np.fromfunction等函数创建数组对象。

下面看几个例子：

np.zeros((3,4)) # 创建元素为0的3行4列的数组
np.ones((2,3,4), dtype=np.int16) # 创建元素为1的2x3x4数组，类型为np.int16
np.empty((3,4)) # 创建元素为随机数的3x4数组
np.arange(1, 10, 1) # 在1到10中以1为间距提取实数组成一维数组
np.arange(10) # 省略方式，功能同上
np.linspace(0, 10, 5) # 在0到10中等间距提取5个实数组成一维数组
...

基本操作

ndarray基本操作指的是加减乘除等运算。除了下面几点需要注意，没太多内容。

• 参与运算的数组元素类型不一致的，输出结果的元素类型将为精度更高的类型。
• 维度相同的数组的操作一般（矩阵点乘叉乘等除外）遵循对应元素分别相操作，生成的新元素组成结果。
• 维度不相同的数组如果符合NumPy的广播规则，将按广播定义的规则进行操作；否则抛出异常。（文章最后会有关于广播规则的介绍）
• 设有数组A、B，那么A*B是元素乘积，即每个元素对应相乘；而A.dot(B)或np.dot(A,B)表示矩阵点乘。

访问数组的元素与切片

一维数组的访问方式跟Python的list列表对象的访问方式一样。
通过逗号分隔索引组成的列表的方式访问。每个索引值从高到低对应数组的维度。

访问多维数组的元素

访问元素的索引是一个整数，表示某个维度中的下标。

设有多维数组A为[[[1,2],[3,4]],[[5,6],[7,8]]]，下面结合例子辅助理解：

• A[0]: 访问数组A第一维度的第一个元素，为[[1,2],[3,4]]。
• A[1,1]: 先取数组A第一维度的第二个元素B（是一个第二维度的元素），然后取B其中的第二个元素，为数组[7,8]。
• A[1,1,1]: 原理如上，结果为标量8。

访问多维数组的切片

访问切片用冒号分割整数的方式表示索引，形如x:y:z的样子，x表示开始下标（包含），y表示结束下标（不包含），z为步长（省略为1）。
还可以用...符号作为尽可能多全选切片索引的省略标记。

• A[0:1]: 返回“第一维元素中所有下标大于等于0且小于1的元素”组成的新数组。它依旧是一个三维数组，为[[[1, 2],[3, 4]]]
• A[0:1:2]: 在这个例子中结果同上，最后一个2是选择的步长，因为我们最多只有两个元素，所以在选择了下标为0的元素后步长加2就没有其他元素了。
• A[0:1,0:1]: 返回“第一维元素中所有下标大于等于0且小于1，并且第二维元素所有下标大于等于0且小于1的元素”组成的新数组。它依旧是一个三维数组，为[[[1, 2]]]
• A[...,0:1]: 省略号表示尽可能多的全选切片，等同于A[:,:,0:1]，所以结果为[[[1],[3]],[[5],[7]]]

同时访问元素和切片

这种情况真它大爷的是一个让人很难解释的过程。只能总结一下我认识的规律。针对这种情况，我的做法是补全所有遗漏索引，数一下出现元素索引的数目即可判断结果将会降多少个维度。然后按照上面访问切片的理解选取每个维度中选中切片。

• A[0:1,0]: 等同补全索引后的A[0:1,0,:]，结果是降了一个维度的[[1, 2]]。选取的条件要同时满足：
  “第一维度下标大于等于0且小于1，并且第三维度全选”的切片，而“第二维度取下标为0”的元素。

数组的变形、拼接、分割、浅拷贝和深拷贝

这部分内容也是想略过的。下面简单提及相关的函数，使用时通过Python的help函数可以获取更详细的介绍。同样地，假设我们已经有了数组A。

• 变形：A.ravel()返回A扁平化后的一维数组；A.T返回A的转置；A.reshape(indics)返回A变形后的新数组；A.resize(indics)修改A的维度，不返回新数组。
• 拼接：np.hstack(A,...)、np.vstack(A,...)等。
• 分割：np.hsplit(A, indics)与np.vsplit(A, indics)等。
• 浅拷贝：B = A.view()
• 深拷贝：B = np.copy(A)或者B = A.copy()

NumPy的广播规则

当对两个数组进行某种操作的时候，如果这两个数组的维度是一样的，通常按照操作的定义完成操作即可。但是总会出现两个数组维度不一样的场景，这是怎么办？

NumPy认为部分维度不一样的数组间的操作是有意义的。针对这种有意义的情况，引入了广播的概念，从而实现操作。下面总结一下我对广播的理解。

1. 对输入的两个数组a和b，先用1给维度数目小的数组在前面补全它的shape。例如现在有a.shape为(1,3,4)，b.shape为(4)，则b补全后为(1, 1, 4)。

2. 从最低维度向最高维度，逐一比对在这个维度中的长度。例如：a.shape为(3,4)，b.shape为(2,1)。先比对4和1，然后比对3和2，以此类推。

3. 比对结果若是相等，或者其中有一个数为1，则可以使用广播。否则报ValueError异常。而操作的输出结果的各个维度值是其中大的值。例如：a.shape为(3,4)，b.shape为(3,1)，对比结果可以使用广播，现在让二者相加，则(a+b).shape为(3,4)。

4. 符合广播规则，将执行最终操作。根据维度比对的结果，把维度小的向维度大的扩展。扩展的方法：维度值一样保持不变；维度不一样时，维度小的数组的值肯定是1，这时候则是以当前维度的这个唯一元素作为整体，其他空缺的元素的值都用这个值参与计算。

最后，看一个例子：

a = np.array([[[1],[1],[1]],[[1],[1],[1]]])
b = np.array([[1,2],[1,2],[1,2]])

有两个数组a和b，他们的维度分别为(2,3,1)和(3,2)。很明显，两个数组的维度不一样了。我们需要扩展b的维度，扩展后是(1,3,2)。然后从右边低维向左边高维对(2,3,1)和(1,3,2)进行比对，发现符合广播的规则。

我们发现数组a的最低维是1，需要扩展为2。这个维度的元素只有一个标量1，它应该要有两个元素，所以扩展后就是：[[[1,1],[1,1],[1,1]],[[1,1],[1,1],[1,1]]]。

同样地，数组b的最高维度是1，需要扩展为2。这个维度的元素是一个数组[[1,2],[1,2],[1,2]]，因此我们复用这个元素，扩展结果为：[[[1,2],[1,2],[1,2]],[[1,2],[1,2],[1,2]]]。

最后用这两个扩展后的结果进行操作。

注意：上面总结提到的扩展在NumPy实际计算的时候是虚拟实现的，并不会生成额外的对象或占用额外的内存，因此它的效率是有保证的。

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