关于几种常见计量模型参数的解释

2019-01-24 本文已影响0人哈桑_73bc

初学计量经济学时，我们可能会对模型中的参数 $\beta$ （尤其是斜率系数 $\beta_1$ ）的含义感到困惑，本文尝试给出了四种常见模型中参数 $\beta$ 的解释。

（1） $wage = \beta_0 + \beta_1 educ+u$

其中 $wage$ 是工资， $educ$ 是受教育年限。对形如上式的模型， $\beta_0$ 表示当 $educ=0$ 时的工资，即未受过教育的人的工资为 $\beta_0$ ；

$\beta_1$ 表示受教育年限增加（减少）一年，工资变化 $\beta_1$ 元，对于 $\beta_1$ ，笔者给出如下数学证明：

【证明】 $\because wage=β_0+β_1 educ+u$

$\therefore d(wage)=\beta_1 d(educ)$ （等式两边取微分）

$\therefore \Delta wage\approx \beta_1 \Delta educ$

$\therefore$ 当受教育年限增加（减少）1年时，工资提高（降低） $\beta_1$ 元。

（2） $salary=\beta_0 + \beta_1 log(sales)+u$

$\therefore d(salary) = \beta_1 \frac{d(sales)}{sales}$

$\therefore \Delta salary \approx \beta_1 \frac{\Delta sales}{sales}$

$\beta_1$ 表示 $sales$ 变化1个百分比 $salary$ 变化 $\frac{\beta_1}{100}$ 。

【证明】 $\because salary=β_0+β_1 log⁡(sales)+u$

$\therefore$ 当销量增加1个百分比（ $\Delta sales/sales = 1$ %），薪水（ $salary$ ）变化 $\frac{\beta_1}{100}$ 。

（3） $log⁡(wage)=β_0+β_1 educ+u$

$\beta_1$ 表示受教育年限增加（减少）1年，工资变化 $100\beta_1$ 个百分比。

【证明】 $∵log⁡(wage)=β_0+β_1 educ+u$

$∴\frac{1}{wage} d(wage)=β_1 d(educ)$

$∴\frac{Δwage}{wage}≈β_1 Δeduc$

$\therefore$ 当受教育年限增加（减少）1年，工资（ $wage$ ）变化 $100\beta_1$ 个百分比。

（4） $log⁡(salary)=β_0+β_1 log⁡(sales)+u$

$\beta_1$ 表示当 $sales$ 变化1个百分比时， $salary$ 变化 $\beta_1$ 个百分比。

【证明】 $∵log⁡(salary)=β_0+β_1 log⁡(sales)+u$

$\therefore \frac{\Delta salary}{salary} \approx \beta_1 \frac{\Delta sales}{sales}$

$\therefore$ 当 $sales$ 变化1个百分比时， $salary$ 变化 $\beta_1$ 个百分比。

【注】模型(2)处的编辑有点问题（有两行公式位置有误），调整了多次，还是不行。

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