恒星物理

2019-06-07 本文已影响0人寂风如雪

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基本原则：主干、增量、事后。主干指必须是课程核心内容，增量指我个人在学习该课程之前不了解或者了解的不清楚，事后是指是在学习过一遍后使用的（当然也可以在学习前用于掌握整体轮廓）。

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观测信息

赫罗图

质光关系、质量半径关系

光谱型

根据谱线确定光谱型
- 哈佛分类
- M-K分类
  
  如：太阳 G2V
根据谱线边界跳变确定光谱型
- 巴尔末跳变
  
  从分立谱到连续谱
根据色指数确定光谱型

黑体谱上采样得到谱形状的信息，从而得到温度信息。

结构与模型

前置知识

辐射理论

宏观描述

空间一个点上有无数个值，不同方向相互独立，不同频率相互独立。其实和电磁场描述的是同一种东西，但是角度不同，辐射场可以理解为电磁场的平面波分解。
- 辐射强度
  $d E_{\nu}=I_{\nu} \cos \theta d \sigma d \nu d \omega d t$
  - 与距离无关
  - 平均辐射强度
    $J_{\nu}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{\oint d \omega} \cdot \oint I_{\nu}(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{s}) d \omega$
- 辐射通量
  
  通过有向单位面积的辐射能量
  $\pi F_{\nu} \equiv \oint I_{\nu} \cos \theta d \omega$
- 辐射场能量密度
  $u_{\nu}=\frac{1}{c} \oint I_{\nu}(\theta) d \omega$
- 辐射压
  $P_{R}(\nu)=\oint \frac{I_{\nu}}{c} \cos ^{2} \theta d \omega$
  各向同性时有
  $P_{R}(\nu)=\frac{u_{\nu}}{3}$
- 半无穷平面层中的辐射场
  
  辐射场距
  $\frac{1}{2} \int_{-1}^{+1} I_{\nu}\mu^{n} d \mu$
吸收、发射与散射
- 辐射与物质相互作用的微观过程散射
  - 散射
    - 原子吸收再发射
  - 真吸收or发射
    - 光致电离or激发
    - 自由自由跃迁
    - 碰撞电离or复合
  - 负吸收
    - 感应跃迁
- 吸收系数与光深
  - 光深
    $d \tau_{\nu}=-\frac{d I_{\nu}}{I_{\nu}}$
    光薄、光厚
  - 吸收、发射系数
    - 吸收——与入射光有关
      - 质量吸收系数——单位质量截面
        
        $d \tau_{\nu}=\kappa_{\nu} \rho d s$
      - 体积吸收系数——单位体积截面
        $d \tau_{\nu}=\kappa_{\nu} d s$
    - 发射——与入射无关
      - 质量发射系数
        $d I_{\nu}=\eta_\nu \rho d s$
      - 体积发射系数
        $d I_{\nu}=\eta_\nu d s$
  - 源函数
    $S_{\nu} \equiv \eta_{\nu} / \kappa_{\nu}$
黑体
- 基尔霍夫定律
  $\eta_{\nu}^{T} / \kappa_{\nu}^{T}=I_{\nu}=B_{\nu}(T)$
  注意：这里的吸收是真吸收，发射是真发射
辐射转移方程
$d I_{\nu}=-\kappa_{\nu} I_{\nu} d s+\eta_{\nu} d s$
- 不同坐标系下的形式
  - 平面柱坐标系
    $\pm\left[\frac{\partial I_{\nu}^{ \pm}(z, p)}{\partial z}\right]=\kappa_{\nu}(z, p)\left[S_{\nu}(z, p)-I_{\nu}^{ \pm}(z, p)\right], \quad \left\{\begin{matrix} I^+ = I,\ when\ \mu \ge 0\\ I^- = I,\ when\ \mu < 0 \end{matrix}\right.$
    $I^+$ 是向右的而 $I^−$ 是向左的，我们只想解z>0的区域，所以利用该式可以把z<0的情况换成z>0的情况。在z<0的某处向左传，即相当于在z>0的某处向右传。
- 通解
  $I_{\nu}\left(\tau_{1 \nu}, \mu\right)=I_{\nu}\left(\tau_{2 \nu}, \mu\right) e^{-\left(\tau_{2 \nu}-\tau_{1 \nu}\right) / \mu}+\int_{\tau_{1 \nu}}^{\tau_{2 \nu}} S_{\nu}\left(t_{\nu}, \mu\right) e^{-\left(t_{\nu}-r_{1 \nu}\right) / \mu} \frac{d t_{\nu}}{\mu}$
  考虑底部无入射，厚度为 $L$ 的物质层，则有
  $I_{\nu}^{\mathrm{out}}=B_{\nu}(T)\left(1-e^{-\kappa_{\nu} L}\right)= \left\{\begin{matrix} I_{\nu}^{\mathrm{out}} \simeq B_{\nu}(T),\ when\ \tau \gg 1\\ I_{\nu}^{\mathrm{out}} \simeq \kappa_{\nu} L B_{\nu}=\eta_{\mu} L,\ when\ \tau \ll 1 \end{matrix}\right.$
  一个是黑体近似，一个是各层发射的简单求和
- $\tau \gg 1$ 时的渐进式
  
  展开为 $\mu$ 的级数， $\tau \gg 1$ 时收敛，从而得到
  $F_{\nu}\left(\tau_{\nu}\right)=-\frac{4}{3}\left(\frac{1}{\kappa_{\nu}} \frac{d B_{\nu}}{d T}\right) \frac{d T}{d z}$
  光子扩散，光子的传播效率正比于该方向上光子密度梯度。

对流理论

恒星内部只要存在对流就会不可避免地发展为湍流——雷诺数

产生对流的条件

越向上升流体元相对于环境越轻，越升越轻，越轻越升。
$\frac{d}{d r}(\Delta \rho) \leqslant 0$
- 施瓦西判据
  
  这里的梯度定义不同寻常
  $\nabla \equiv\left(\frac{d \ln T}{d \ln P}\right)$
  所以推导过程中会引入一个压强标高
  $H_{P} \equiv-\frac{d r}{d \ln P}=-P \frac{d r}{d P}$
  最终判据是
  $\nabla_{R} \geqslant \nabla_{\mathrm{ad}}$
- 勒都判据
  
  考虑了化学组成梯度
  $\nabla_{R} \geqslant \nabla_{\mathrm{ad}}+\nabla_{\varphi}$
温度梯度、罗斯兰平均不透明度

其目的是把辐射区的温度梯度（偏微分）用代数式表示出来，其基于物态方程、流体力学平衡方程和辐射转移方程。

在物态方程的推导部分一直用的是”单位质量“，而最终得到的结论是适用于任意质量的，这里必须理解”单位质量“是一种为了表征物质物态的假想，它的物态方程通过强度量和广延量的性质和任意质量物质的物态相联系。

我们选取的温度梯是温度和压强之间的关系，都是强度量，任意质量物质这两者的关系和单位质量是一样的，我们选取两个强度量可以省去许多不必要的麻烦，但是即便是广延量，也可以通过对应的变换法则从单位质量情况变换到任意质量。

罗斯兰平均不透明度则是在对频率积分时引入的量。
$\nabla_{R}=\frac{3}{16 \pi a c G} \frac{\overline{\kappa} L_{r} P}{M_{r} T^{4}}$
其中
$\frac{1}{\overline{\kappa}}=\frac{\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\kappa_{\nu}} \frac{d B_{\nu}(T)}{d T} d \nu}{\int_{0}^{\infty} \frac{d B_{\nu}(T)}{d T} d \nu}$
混合程理论

其目的是把对流区的温度梯度（偏微分）用代数式表示出来，它基于这样一种考虑，即用辐射温度梯度表征需要传递的能量（即假设这么多能量如果由纯辐射来传到需要的温度梯度），而在对流区传递这些能量的任务则由辐射转移和对流共同完成，辐射转移是和温度梯度有关的，只要求出对流的贡献再用总共需要传递的能量（由纯辐射温度梯度表征）减去它就可以得到通过辐射转移传递的能量，同时也就得到了温度梯度。
$\pi F=\pi F_{R}+\pi F_{\mathrm{con}}$
考虑对流的贡献时考虑的是不同层不同温度的平均流体元上升（或下降），造成不同层间能量转移的模型，进行一系列假设与近似后可以得到
$\frac{\nabla_{e}-\nabla_{\mathrm{ad}}}{\nabla_{\mathrm{con}}-\nabla_{e}}=\frac{6 a c T^{3}}{\overline{\kappa} \rho^{2} c_{P}} \frac{1}{l \overline{v}}$
而
$\overline{v}^{2}=g \delta\left(\nabla_{\mathrm{con}}-\nabla_{e}\right) \frac{l^{2}}{8 H_{P}}$
基本方程组的解

联立以上方程可以得到 $\nabla_{\mathrm{con}}$ 的解析解，在恒星中心可以认为 $\nabla_{\mathrm{con}} = \nabla_{\mathrm{ad}}$ 。

物态方程

热动平衡下的统计规律
- 波尔兹曼公式（量子形式）
- 萨哈方程
  
  注意态密度的概念，参考热统的知识
恒星内部物态方程
- 完全电离的理想气体
  
  光子粒子混合气体
  $P=P_{g}+P_{R}=P_{I}+P_{e}+P_{R}$
  光子部分是各向同性平衡辐射场，而气体部分有
  $\left\{\begin{matrix} P_{g}=n_{g} k T=\dfrac{\mathscr{R}}{\mu} \rho T\\ P_{I}=n_{I} k T=\dfrac{\mathscr{R}}{\mu_{I}} \rho T\\ P_{e}=n_{e} k T=\dfrac{\mathscr{R}}{\mu_{e}} \rho T \end{matrix}\right.$
  这里 $\mathscr{R} = \dfrac{k}{m_P}$ 同时也应当注意， $\mu,\mu_I,\mu_e$ 就是根据这样的式子定义的，根据这样的定义可以求出其表达式
  $\left\{\begin{matrix} \mu=\dfrac{1}{\sum_\limits{i} \dfrac{\left(1+Z_{i}\right)}{\mu_{i}} X_{i}}\\ \mu=\dfrac{1}{\sum_\limits{i} \dfrac{X_{i}}{\mu_{i}} }\\ \mu=\dfrac{1}{\sum_\limits{i} \dfrac{X_{i}Z_{i}}{\mu_{i}} } \end{matrix}\right.$
  推导过程中有引入一个后面常用的表示
  $\beta=P_{g} / P$
- 部分电离理想气体
  $P=\frac{\mathscr{R}}{\mu_{I}} \rho T+\frac{\mathscr{R} E^{\prime}}{\mu_{I}} \rho T+\frac{a}{3} T^{4}$
  其中 $E^{\prime}$ 是平均一个原子所释放出来的电子数目，这个由元素组成以及各元素的各阶电离度决定，各阶电离度又可以通过萨哈公式得到，实际计算常采用多次近似的方法，先猜一个值，代入方程再把这个值解出来，如果误差可以接受就认可这个值，否则再次把新值代入方程一直循环下去。

不透明度

跃迁过程
- 束缚——束缚跃迁
  - 谱线展宽，用轮廓函数描述
  - 跃迁过程
    - 光致跃迁
      
      电子吸收光子到达更高能级
      $n_{i\nu} B_{i j} I_{\nu} d \nu \frac{d \omega}{4 \pi}=n_{i} \varphi_{\nu} B_{i j} I_{\nu} d \nu \frac{d \omega}{4 \pi}$
    - 自发跃迁
      
      高能级掉到低能级而放出光子
      $n_{j\nu} A_{j i} d \nu \frac{d \omega}{4 \pi}=n_{j} \psi_{\nu} A_{j i} d \nu \frac{d \omega}{4 \pi}$
    - 感应跃迁
      
      电子受辐射感应而向低能级跃迁（受迫振动类似）
      $n_{j\nu} B_{j i} I_{\nu} d \nu \frac{d \omega}{4 \pi}=n_{j} \psi_{\nu} B_{j i} I_{\nu} d \nu \frac{d \omega}{4 \pi}$
  - 不透明度
    
    现在要把这几个过程和不透明度联系在一起
    
    以真吸收与光致跃迁的关系为例，我们已经有
    $-\frac{d n_{i\nu}}{dt} = n_{i\nu} B_{i j} I_{\nu} d \nu \frac{d \omega}{4 \pi}$
    相应损失的能量
    $h\nu_{ij}(-\frac{d n_{i\nu}}{dt}) = -\frac{dE_\nu}{dt dV}$
    又
    $\frac{dE_\nu}{d\nu} = \frac{I_\nu}{c}d\omega d \nu$
    从而
    $-\frac{d}{dt}(\frac{dE_\nu}{d\nu}) = -\frac{d}{dt}(\frac{I_\nu}{c})d\omega d \nu$
    对于辐射来讲
    $ds = cdt$
    所以有
    $-\frac{d}{dt}(\frac{I_\nu}{c})d\omega d \nu = - \frac{d I_\nu}{ds}d\omega d\nu =\kappa_{ij}I_\nu d\omega d\nu$
    于是（这里只是真吸收，后面算的是总吸收）
    $h\nu_{ij}n_{i} \varphi_{\nu} B_{i j} I_{\nu} d \nu \frac{d \omega}{4 \pi} = \kappa_{ij}I_\nu d\omega d\nu$
    最后的结果：
    $\begin{matrix} \kappa_{i j}=h \nu_{i j} n_{i} B_{i j} \varphi_{v}\left(1-\dfrac{\psi_{\nu}}{\varphi_{\nu}} \dfrac{n_{j}}{n_{i}} \dfrac{B_{j i}}{B_{i j}}\right) / 4 \pi\\ \eta_{i j}=n_{j} \psi_{\nu} A_{j i} h \nu_{i j} / 4 \pi \end{matrix}$
    这里需要理解的一个东西：即使用时间表述的吸收和用距离表述的吸收，这两者之间本身相差一个速度，但由于光速是常量所以可以认为这两者是具有直接对应关系的。
    
    也许会有一个问题就是介质中的光速是小于真空中的光速的，为什么这里还是用真空中的光速计算，这其实不构成问题：
    1. 如果光速改变了，那么公式
      $\frac{dE_\nu}{d\nu} = \frac{I_\nu}{c}d\omega d \nu$
      中的光速也是改变过的光速，整个推下来结果不会变。
    2. 介质中光速的改变正是吸收和发射的结果，光本身的传播速度并没有改变，而是激发出的电磁（也即被吸收又在同方向放出的电磁波：光致跃迁+感应跃迁）和原始电磁波叠加造成相消的结果。
      
      参考：
      
      https://dwz.cn/8cNqrsWO
      
      https://en.wikipedia.org/wiki/Speed_of_light#In_a_medium
      
      我们当前考虑的是具体的一个个的光子（一个个平面波）而不是宏观的总的电磁波。
      
      【这一点还有细节不是很清楚，但第一点已经可以解决这个问题了】
  - 具体计算
    - 爱因斯坦系数之间的关系
      
      我们的理论假设爱因斯坦系数是与外环境无关的，所以他们之间的关系在任何外环境下都一样，我们在热动平衡的情况下推得的结果在任何外环境下都适用：
      做出爱因斯坦系数是与外环境无关的假设主要考虑两点：
      
      自然原则：束缚——束缚跃迁这件事就是光和电子之间的事情，与外环境无关是自然的。
      
      简洁原则：没有理论或者实际上的必要性要求我们认为与外环境有关，出于简洁的考虑应该认为无关。
      $\begin{matrix} A_{j i}=\dfrac{2 h \nu_{i j}^{3}}{c^{2}} B_{j i}\\ g_{i} B_{i j}=g_{j} B_{j i} \end{matrix}$
  - 计算 $B_{ij}$
    
    通过量子力学可以算得
    $B_{i j}=\frac{4 \pi^{2} e^{2}}{m_{c} c h \nu_{i j}} f_{i j}$
    最终得到
    $\kappa_{i j}=n_{i} \frac{\pi e^{2}}{m_{e} c} f_{i j} \varphi_{v}\left(1-\frac{g_{i}}{g_{j}} \frac{n_{j}}{n_{i}}\right)$
    和
    $\eta_{ij}=n_{j} \frac{2 h \nu_{i j}^{3}}{c^{2}} \frac{g_{i}}{g_{j}} a_{i j}$
- 束缚——自由跃迁
  
  计算流程与束缚——束缚过程类似，这里给出结果
  $\kappa_{i k}=h \nu C_{\nu}\left(n_{0}-n_{0}^{*} e^{-h \nu/ k T}\right) / 4 \pi$
  和
  $\eta_{i k}=n_{1} \frac{2 h \nu^{3}}{c^{2}} \frac{g_{i}}{g_{k}} a_{i k}$
  事实上这只是单类原子单束缚态得结果，实际使用时要对各束缚态以及各原子求和。
- 自由——自由跃迁
  $\kappa_{k k}=n_{1} \cdot n_{e} \cdot a_{k k}\left(1-e^{-h / k T}\right)$
  其中 $a_{kk}$ 由量子力学计算得到
  $\eta_{k k}=\frac{2 h \nu^{3}}{c^{2}} e^{-h \nu/ k T}\cdot a_{k k} \cdot n_{e} n_{l}$
散射过程
- 汤姆逊散射
  $a_{e}=\frac{8 \pi e^{4}}{4 m_{e}^{2} c^{4}}\left[\frac{\omega^{4}}{\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)^{2}+\gamma^{2} \omega^{2}}\right]$
- 康普顿散射
  
  通过对汤姆逊散射进行修正得到
- 瑞利散射
  
  一般使用经验内插公式

热核反应

反应速率
$r_{a X}=\iint\limits_{-\infty}^{+\infty} \sigma(v) v d n_{a}(v) d n_{X}(v)$
考虑麦克斯韦分布，可以得到
$r_{a X}=n_{a} n_{X} \int\limits_{0}^{\infty} f(E) \sigma v d E=n_{a} n_{X}\langle\sigma v\rangle$
这是两种不同粒子的式子， $n_{a} n_{X}$ 其实就是”靶弹组合“的个数，对于同种粒子组合个数为 $\dfrac{n_a^2}{2}$ 。

可以表示为
$r_{a X}=\frac{1}{1+\delta_{a X}} n_{a} n_{X}\langle\sigma v\rangle$
其中
$\delta_{a X}=\left\{\begin{array}{l}{0, a \neq X} \\ {1, a=X}\end{array}\right.$
产能率

基本原理是能量守恒
$E_{a x}+\left(\Delta M_{a}+\Delta M_{X}\right)=E_{b Y}+\left(\Delta M_{b}+\Delta M_{Y}\right)$
这里其实可以理解为质心系中的能量守恒，这个质心系中的质点应当理解为核子而不是整个原子，否则总质量会凭空减少，不是说不可以但是很奇怪，这不过就是一个势能和动能相互转化的过程，只不过是把势能算到质量里面去了。计算某反应的有效产能还需要去掉中微子等带走的能量。在相对论框架下认为核子是质点也可以，动质量不会凭空减少。

显然总的产能率还和反应速率有关，可以写为
$\varepsilon=\rho N_{A} \sum \frac{1}{1+\delta_{i j}} Y_{i} Y_{j} Q_{i j} N_{A}\langle\sigma v\rangle_{i j}$
化学组成变化

很好理解，反应了就少了，产生了就多了
$\frac{d Y_{i}}{d t}=-\rho N_{A} \sum_{j} \frac{a_{i}}{1+\delta_{i j}} Y_{i} Y_{j}\langle\sigma v\rangle_{i j}+\rho N_{A} \sum_{k, l} \frac{b_{i}}{1+\delta_{k}} Y_{k} Y_{l}\langle\sigma v\rangle_{kl}$
恒星核反应过程
- 氢反应
  
  哪种过程主导，以及过程中具体哪个分支主导都适合温度有关的
  - PP链
  - CNO链
- 氦反应
  - 3 $\alpha$ 过程
  - 4 $\alpha$ 过程
  - 5 $\alpha$ 过程
中微子能量损失
- 电子对湮灭
- $\beta$ 衰变
- 等离子体子过程（plasmon）
- 轫致中微子过程
  
  类轫致辐射
- 光子中微子过程
  
  类光子在电子上散射

数学模型

基本方程

以 $M_r$ 为独立变量

质量分布方程
$\frac{d r}{d M_{r}}=\frac{1}{4 \pi r^{2} \rho}$
流体静力学平衡方程
$\frac{d P}{d M_{r}}=-\frac{G M_{r}}{4 \pi r^{4}}$
能量平衡方程

这个方程描述的是能量平衡这件事，即两层间传递的能量差与产能率的关系。
$\frac{d L_{r}}{d M_{r}}=\varepsilon$
一般地
$\varepsilon=\varepsilon_{n}-\varepsilon_{\nu}-c_{p} \dot{T}+\frac{\delta}{\rho} \dot{P}$
能量传递方程

这个方程描述的是为了传递能量而需要的温度梯度，即传递的能量与温度梯度的关系。
$\frac{d T}{d M_{r}}=-\frac{G M_{r}}{4 \pi r^{4}} \frac{T}{P} \cdot \nabla,\quad \nabla = \left\{\begin{align} &\nabla_{R}, \text{ 辐射平衡区}\\ &\nabla_{con}, \text{ 对流区} \end{align}\right.$
化学组成变化方程

无对流
$\begin{aligned} \frac{d Y_{i}}{d t}= -\rho N_{A} \sum_{j} \frac{a_{i}}{1+\delta_{i j}} Y_{i} Y_{j}\langle\sigma v\rangle_{i j} +\rho N_{A} \sum_{k, l} \frac{b_{i}}{1+\delta_{k l}} Y_{k} Y_{l}\langle\sigma v\rangle_{k l} \end{aligned}$
对流
$\frac{d Y_{i}}{d t}=\frac{\int\left(\frac{d Y_{i}}{d t}\right)_{M_{r}} d M_{r}}{\int d M_{r}}$
半对流
$\frac{d Y_{i}}{d t}=\left(\frac{d Y_{i}}{d t}\right)_{sc}+\frac{d}{d M_{r}}\left(\alpha \frac{d X_{i}}{d M_{r}}\right)$

关于“能量平衡方程”和“能量传递方程”的区别，可以考虑我们描述一个仓库，首先仓库运入和运出之差必须等于仓库库存的增量，这就类似“能量平衡方程”描述的事情；而为了实现相应的运入和运出量，仓库需要有相应的运输力，这个运输力和运输量之间的关系就类似“能量传递方程”。

边界条件

零边界条件
$\left\{\begin{align} &r = 0, &M_r =0 \\ &L_r = 0, &M_r =0 \\ &P = 0, &M_r =M \\ &T = 0, &M_r =M \end{align}\right.$
然而这种边界条件是奇异的，我们必须想办法解决这个问题
非奇异边界条件
- 内部边界条件
  
  在中心附近一点做线性展开
  $\left\{\begin{align} &r=\left(\frac{3}{4 \pi \rho}\right)_{c}^{1 / 3} M_{r}^{1 / 3}, \\ &P=P_{c}-\frac{1}{2}\left(\frac{4 \pi}{3}\right)^{1 / 3} G{\rho_{c}^{4 / 3}} M_{r}^{2 / 3}, \\ &L_{r}=M_{r}\left(\varepsilon_{n}-\varepsilon_{\nu}-c_{p} \dot{T}+\frac{\delta}{\rho} \dot{P}\right)_{c} \\ &\frac{d \ln T}{d \ln P}=\left\{\begin{array}{l}{\left(\frac{3}{16 \pi a c G} \frac{\overline{\kappa} L_{r} P}{M_{r} T^{4}}\right)_{c}},\quad \text{当} \dfrac{d \ln T}{d \ln P} < \nabla_{ad} \\ {\nabla_{\mathrm{ad}}}, \quad \text{当} \dfrac{d \ln T}{d \ln P} > \nabla_{ad}\end{array}\right. \end{align}\right.$
  所谓线性近似，以 $r$ 为例，是指把 $\rho$ 当作常数，而不是直接 $r = \dfrac{1}{4\pi r^2 \rho}M_r$ 。
- 外部边界条件
  
  基于灰大气理论
  $T_{(\tau=0)}=\left(\frac{1}{2}\right)^{1 / 4} T_{\mathrm{eff}}, P=\frac{a}{3} T^4_{(r=0)}$

解的性质和维里定理

解的唯一性问题

该方程与边界条件的组合得到的解不是唯一的，但不可能得到两个可以无穷靠近的平衡解，这就说明在在赫罗图上一点附近只有一个平衡解。
维里定理

通过流体静力学平衡方程在单原子理想气体的情况下有
$E_{G}=-2 E_{T}$
多原子气体则
$3(\gamma-1) E_{T}+E_{G}=0$
表面压强不为0则
$P_{f}=\frac{3 M \mathscr{R}\overline{T}}{4 \pi \mu R^{3}}-\frac{C_{1} G}{4 \pi} \frac{M^{2}}{R^{4}}$
其中
$C_{1} \equiv \int_{0}^{M} \frac{M_{r} d M_{r}}{r} / \frac{M^{2}}{R}\\ \overline{T} \equiv \int_{0}^{M} T d M_{r} / M$
这个可以用来判断核球是否坍缩，逻辑是这样的，实际中 $P\ge 0$ ，如果这个式子给出的 $P < 0$ ，那么说明这样的稳定状态是不能存在的，在 $R$ 不是很小的时候，可以通过坍缩来使 $P$ 增大，成为一个可以接受的稳定状态。

时标

动力学时标
- 自由落体坍缩
  $t_{ff} \sim 1h$
- 脉动过程
  $T \cdot \sqrt{\overline{\rho}}=\mathrm{const}$
  与自由落体时间同量级
- 声速
  $c_{s} \simeq \sqrt{\frac{P}{\rho}} \sim \sqrt{T}$
  其实也是压力波（压力信号）传播的速度
热时标

即靠引力能和内能可以维持发光的时间
$t_{K}=2 \times 10^{7} \mathrm{year}$
核时标

即靠核能可以维持发光的时间
$t_{N} \simeq 10^{11} \mathrm{year}$

显然有
$t_{N} \gg t_{K} \gg t_{f f}$

多方模型

质量分布方程+流体静力学平衡方程+多方关系
$P=K \cdot \rho^{1+\frac{1}{n}}$
可以得到一个指数为n的 Emden 微分方程
$\frac{1}{z^{2}} \frac{d}{d z}\left(z^{2} \frac{d u}{d z}\right)+u^{n}=0$
我们只对有限值解感兴趣，这就要求在 $z=0$ 时，必须有 $\dfrac{du}{dz} = 0$ 。

该方程只有三个n值有解析解，即
$\begin{array}{l}{n=0 : \quad u(z)=1-\dfrac{1}{6} z^{2}} \\ {n=1 : \quad u(z)=\dfrac{\sin z}{z}} \\ {n=5 : \quad u(z)=\dfrac{1}{\left(1+\frac{z^{2}}{3}\right)^{1 / 2}}}\end{array}$
同时，只有 $n<5$ 时多方球的半径才是有限值，否则将是无穷大的。

多方模型虽然很简单，但是对于简并星、红巨星、大质量恒星或者等温中心核还是近似成立的，同时对于一般情况，多方模型也可以为更严格的方程给出一个初始解。