6.欧道克斯-阿基米德公理

欧克道斯-阿基米德公理，看起来很普通，但实际上很伟大。

这个公理，形象而简单的说就是，虽然兔子暂时领先，但只要兔子停下来不跑了，永不停息的乌龟就总能在某一步之后超越它。

励志一些的说法是“绳锯木断，水滴石穿”。

比较令人难以置信的说法是：就算没有神仙帮忙，愚公和他的子孙们也能够移动大山。

朴素简单的说：
给定一个很长的线段甲，和一个很短的线段乙，对齐一端。然后不断复制粘帖这个很短的线段乙，让它们首位相续连接，总能在某个时候，超过那长的线段甲。

这个公理有倒过来看，可以形成另一种看法，类似墨子的描述，但又有所不同。

墨子描述的意思是：给定一根棍子，每天砍去一半，永远也砍不完。

欧克道斯的描述是：给定两根棍子，一根极长，一根极短。然后，把那根长的不停的砍去一大半，总有一个时候，它剩下的长度会比短的还短。

欧克道斯这样的描述，“比给定的长的还要长”，或者“比给定的短的还要短”，成功避开了“无限长”或者“无限短”这样的字眼。他们在此基础上，开发和改进了“穷竭法”，奠定了微积分最初的思路。

欧克道斯建立的比例论，《几何原本》大面积引用。有时，他的名字翻译为欧多克索斯。据古人考证，《几何原本》第五卷和第十二卷，大部分出自欧多可索斯之手。欧几里得负责收集整理，加工完善。

这种“逼近”的方法，巧妙的回避了“无穷”，也巧妙的回避了无理数。可以用比例值来逼近无理数，使得比例值与无理数之间的差值，小于给定的任意的极小的值。

欧道克斯的方法中，已经有了戴德金分割的轮廓。

欧几里得在讨论素数时，依然说“素数的数量比给定的数要多”。不说“无穷”，这只是因为芝诺给古希腊人出了一个难题，使得人们敬畏无穷，如敬神。

阿基米德公理（度量公理）

若AB和CD是任意两线段，则必定存在一个数n，使得沿A到B的射线上，自A作首尾相接的n个线段CD，必将越过B点。