向量值函数笔记: Bochner积分

2020-01-31 本文已影响0人 xhje

这是向量值函数(B值函数)系列笔记的第一篇. 为方便阅读, 这里放出目录:
(1)向量值函数笔记: Bochner积分
(2)向量值函数笔记: L^p空间
(3)向量值函数笔记:Sobolev空间

这篇笔记里的材料大部分来自于Yosida的泛函分析, Hunter的PDE笔记, Evans的偏微分方程, 以及一些网上的讲义, 也有自己补充的材料.

设 $(S,\cal F, \mu)$ 是一个完备(这可以省去很多烦恼, 而且我们的应用中都是完备的)的测度空间, $X$ 是 $\mathbb{K}$ ( $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ )上的Banach空间, ${\cal B}(X)$ 是 $X$ 上的Borel集全体.

我们先定义较弱一些的可测性, 即便它们并不是最常用的.

定义1. 设 $u:S\rightarrow X$ . 则
(1)若 $\forall f\in X^*$ , 有 $f\circ u$ 可测, 则称 $u$ 弱可测.
(2)若 $u^{-1}({\cal B}(X))\subset\cal F$ , 则称 $u$ Borel可测.

若 $u(S)$ 是有限集, 则称 $u$ 是简单函数. 从这些定义出发, 我们先注意到一些简单的事实.

命题2. (1) Borel可测蕴含弱可测.
(2) 对简单函数而言, Borel可测等价于弱可测. 这样的简单函数我们称为可测简单函数.
证明. (1)设 $u$ Borel可测, $f\in X^*$ . 设 $A\in\mathcal{B}(\mathbb{K})$ , 我们有 $(f\circ u)^{-1}(A)$ $=u^{-1}(f^{-1}(A))$ , 由 $f$ 的连续性知 $f^{-1}(A)\in\mathcal{B}(X)$ , 再由 $u$ 的Borel可测性得到 $(f\circ u)^{-1}(A)=u^{-1}(f^{-1}(A))\in\mathcal{F}$ .
(2)设 $u$ 是弱可测的简单函数, 只需证明它Borel可测. 注意到 $u$ 可写为 $u=\sum_{c\in u(S)}c\chi_{u^{-1}(c)}$ , 这样对任何 $A\subset\mathbb{R}$ , 有 $u^{-1}(A)=\sqcup_{c\in u(S)\cap A}u^{-1}(c)$ , 所以我们只需要证明对任何 $c\in u(S)$ , 都有 $u^{-1}(c)\in\mathcal{F}$ 就行了.
设 $u(S)=\{c_k\}_{k=1}^n$ . 如果 $n=1$ , 则 $u$ 是常函数, 这可验证是Borel可测的. 如果 $n\ge2$ , 取 $f_{ij}\in X^*$ 使得 $f_{ij}(c_i)\ne f_{ij}(c_j)$ . 则 $u^{-1}(c_1)=\cap_{k=2}^n(f_{1k}\circ u)^{-1}(f_{1k}(c_1))$ 作为有限个可测集的交自然是可测的. $\blacksquare$

我们再定义强可测性, 这是最常用的可测性.

定义3. 设 $u:S\rightarrow X$ , 且存在一列可测简单函数 $u_n$ 使得 $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n(s)\overset{\mu\text{-}a.e.}{=}u(s)$ , 那么我们说 $u$ 是强可测的.

自然, 每个可测简单函数也是强可测的. 另外, 由这个定义, 我们立刻可以看出强可测函数关于极限是封闭的.

命题4. 如果 $\{u_n\}$ 都是强可测的, 并且 $u_n\rightarrow u$ $\mu$ -a.e., 那么 $u$ 也是强可测的.
证明. 由强可测的定义, 设 $\{u_{nk}\}_k$ 是简单函数列, 并且 $\lim_{n\rightarrow\infty}u_{nk}(s)\overset{\mu\text{-}a.e.}{=}u_n(s)$ , 那么可以验证 $u_{nn}\rightarrow u$ $\mu$ -a.e., 由此即得结论. $\blacksquare$

既然定义了强可测又定义了弱可测, 那么我们自然要说明它们的名字恰如其分.

命题5. 强可测蕴含Borel可测, 从而也蕴含弱可测.
证明. 设 $u$ 是强可测的, 我们要证它Borel可测. 由强可测定义, 存在一列简单可测函数 $u_n$ 几乎处处收敛到 $u$ , 由于 $u_n$ 都是Borel可测的, 所以我们只要证明Borel可测关于极限运算也是封闭的就好了.
由 $(S,\mathcal{F},\mu)$ 的完备性, 我们可以直接假设 $u_n$ 处处收敛到 $u$ .
对任何开集 $U\subset\mathbb{K}$ , 考察 $u^{-1}(U)$ . 如果 $u(s)\in U$ , 那么当 $n$ 充分大时有 $u_n(s)\in U$ , 从而我们知道 $u^{-1}(U)\subset\liminf_{n} u_n^{-1}(U)$ . 如果 $n$ 充分大时 $u_n(s)\in U$ , 那么显然 $u(s)\in\overline{U}$ , 故 $\liminf_n u_n^{-1}(U)\subset u^{-1}(\overline U)$ .
令 $U_k=\{x\in U|\mathrm{dist}(x,U^c)>1/k\}$ , 那么有 $U_k\subset\overline{U}_k\subset U$ , 并且 $\cup_k U_k=U$ , 从而由刚才的讨论可以得到 $\cup_k \liminf_n u_n^{-1}(U_k)=u^{-1}(U)$ . 这说明 $u^{-1}(U)$ 是可测的, 故 $u$ Borel可测. $\blacksquare$

显然可测简单函数都是强可测的. 对一般的情形, 下面的定理告诉我们什么时候弱可测蕴含强可测.

定理6(Pettis). 设 $u:S\rightarrow X$ . $u$ 强可测等价于 $u$ 弱可测并且它的值域是几乎可分的(即存在一个 $\mu$ -零测集 $E$ , 使得 $u(S\setminus E)$ 可分).

自然, 如果 $X$ 本身是可分的, 那么弱可测就等价于强可测.

为了对强可测函数进行运算, 我们首先要证明它们关于常用的运算封闭.

命题7. 设 $u,v,u_n$ 是强可测函数, $\phi:S\rightarrow\mathbb{K}$ 是可测函数, 则
(1) $\alpha u+\beta v$ 是强可测函数;
(2) $\|u\|$ 是可测函数;
(3) $\phi u$ 强可测.
证明. 我们只证第二点, 这里的证法来自Yosida. 由Pettis定理, 存在 $E\subset S$ 满足 $\mu(E)=0$ 且 $u(S\setminus E)$ 可分, 那么 $Y=\overline{\operatorname{span} u(S\setminus E)}$ 也是可分的. 我们令 $v=u\chi_{S\setminus E}$ , 则我们只需证 $\|v\|$ 可测. 令 $B=\{f\in Y^*|\|f\|\le1\}$ , 则 $\|v(s)\|=\sup_{f\in B}|\langle f,v(s)\rangle|$ . 但是我们还知道, 可分赋范空间的对偶空间的闭单位球是弱*紧的, 且它的弱*拓扑可度量化, 这样我们知道 $B$ 其实是可分的, 设 $B$ 的一个可数稠密子集是 $C$ , 则 $\|v(s)\|=\sup_{f\in C}|\langle f,v(s)\rangle|$ 是可测的.
另一种更简单的证法是注意到 $u$ 是Borel可测的, 并且 $\|\cdot\|$ 在 $X$ 上连续. $\blacksquare$

简单地说, 这个命题告诉我们所有的强可测函数组成可测函数环上的模, 并且和 $X$ 上连续函数复合起来也是可测的.

我们开始考虑积分运算. 对于可测简单函数 $u=\sum_jx_j\chi_{A_j}$ (其中 $x_j\ne0$ , $A_j$ 两两不交)满足 $\mu(A_j)<\infty$ , 定义 $\int_Sud\mu=\sum_jx_j\mu(A_j)$ . 如果 $u$ 满足 $\|u\|\in L^1$ , 那么 $\int_S\|u\|d\mu=\sum_j\|x_j\|\mu(A_j)<\infty$ , 从而 $\mu(A_j)<\infty$ , 从而 $\int_Sud\mu$ 是有定义的. 我们还注意到 $\left\|\int_Sud\mu\right\|\le\int_S\|u\|d\mu$ .

定义8(Bochner积分). 我们说 $u$ 是Bochner可积的, 如果存在一列可测简单函数 $u_n$ 几乎处处收敛到 $u$ , 并且满足 $\int_S\|u_n\|d\mu<\infty$ , $\lim_{n\rightarrow\infty}\int_S\|u_n-u\|d\mu=0$ , 此时定义 $\int_Sud\mu=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_Su_nd\mu$ .

为了说明定义的合理性, 我们需要说明这些 $u_n$ 的积分确实是存在的(这在之前已经完成), 并且积分的极限也存在, 而且极限和 $u_n$ 的选取无关(事实上只需要说明极限存在就够了, 因为对任何两列这样的简单函数, 我们可以把它们合并成一列, 依然满足之前的条件). 首先 $u$ 肯定是强可测的, 然后 $\|u_n-u\|$ 是可测的. 下面验证 $\{\smallint_Su_nd\mu\}$ 是Cauchy列. $\|\smallint_Su_jd\mu-\smallint_Su_kd\mu\|=\|\smallint_S(u_j-u_k)d\mu\|\le\smallint_S\|u_j-u_k\|d\mu$ $\le\smallint_S\|u_j-u\|d\mu+\smallint_S\|u_k-u\|d\mu\rightarrow0$ , 这就验证了 $\{\smallint_Su_nd\mu\}$ 是Cauchy列.

下面的定理告诉我们如何判断一个向量值函数是可积的.

定理9(Bochner). 强可测函数 $u$ 是Bochner可积的当且仅当 $\int_S\|u\|d\mu<\infty$ .
证明. 如果 $u$ 是Bochner可积的, 设 $u_n$ 是定义中的那列函数, 那么 $\int_S\|u\|d\mu\le\int_S\|u-u_n\|d\mu+\int_S\|u_n\|d\mu<\infty$ .
我们再证另一面. 假设 $\int_S\|u\|d\mu<\infty$ . 由于 $u$ 是强可测的, 故存在可测简单函数 $u_n$ 几乎处处收敛到 $u$ , 我们定义 $v_n=u_n\chi_{\{\|u_n\|\le2\|u\|\}}$ , 则由Lebesgue控制收敛定理, $\lim_{n\rightarrow\infty}\int_S\|v_n-u\|d\mu=\int_S\lim_{n\rightarrow\infty}\|v_n-u\|d\mu=0$ . 从而 $\{v_n\}$ 成为 $u$ Bochner可积定义里的那一列可测简单函数. $\blacksquare$

现在我们可以定义 $L^p$ 空间的类似物.

定义10(Bochner-Lebesgue空间). 设 $1\le p<\infty$ , 我们定义Bochner-Lebesgue空间 $L^p(S;X)$ 为所有满足
$\|u\|_{L^p(S;X)}=\left(\int_S\|u\|^pd\mu\right)^{1/p}<\infty$
的强可测函数全体. 当 $p=\infty$ 时, 定义 $L^\infty(S;X)$ 为所有满足
$\|u\|_{L^\infty(S;X)}=\operatorname{esssup}_{s\in S}\|u(s)\|<\infty$
的强可测函数全体.

下面我们来讨论Bochner积分的性质.

首先是一些最简单的观察. 当 $u_n$ 在 $L^1(S;X)$ 中收敛到 $u$ 时, 由 $\int_S|\|u_n\|-\|u\||d\mu\le\int_S\|u_n-u\|d\mu$ 知 $\|u_n\|$ 在 $L^1(S;\mathbb{K})$ 中收敛到 $\|u\|$ .

接着我们考虑一个简单但有用的事情. 即当 $u$ Bochner可积时是否有 $\int_Aud\mu=\int_Su\chi_Ad\mu$ ?这里 $A\in{\cal F}$ , 从而 $(A,A\cap{\cal F},\mu|_{A\cap{\cal F}})$ 也是一个完备的测度空间. 事实上我们只需要对可测简单函数验证这点即可, 这当然是成立的.

然后我们还需要向量值版本的Lebesgue控制收敛定理.

定理11(向量值Lebesgue控制收敛定理). 设 $u_n$ 是Bochner可积的, $u_n$ $\mu$ -a.e.收敛于 $u$ , 并且存在非负可积函数 $g$ 使得几乎处处成立着 $\|u_n\|\le g$ , 那么 $u$ 是Bochner可积的, 并且 $\lim_n\int_Su_nd\mu=\int_Sud\mu$ .
证明. 第一个结论是容易的, 因为几乎处处有 $\|u\|\le g$ , 然后用Bochner定理即得.
要证第二个结论, 注意到 $\left\|\int_S(u_n-u)d\mu\right\|\le\int_S\|u_n-u\|d\mu$ , 由于 $\|u_n-u\|\le2g$ , 用普通的控制收敛定理即得 $\left\|\int_S(u_n-u)d\mu\right\|\rightarrow0$ , 这正是我们需要的. $\blacksquare$

我们还需要微分定理, 这在处理和弱导数有关的问题时十分有用. 此时我们假定 $S=\mathbb{R}$ , 测度是Lebesgue测度(这当然是完备的).

定理12(向量值Lebesgue微分定理). 设 $u\in L^1(\mathbb{R};X)$ , 则对几乎处处的 $t\in\mathbb{R}$ , 我们有
$\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\int_t^{t+h} u(s)ds=u(t)$
证明. 因为 $u$ 是强可测的, 所以由Pettis定理, 可以假设 $u$ 的值域是可分的. 进一步地, 不妨假设 $X$ 是可分的, 若不然, 考虑 $\overline{\operatorname{span}u([0,T])}$ , 它是 $X$ 的可分闭子空间, 用它来替换 $X$ 即可.
设 $\{c_k\}_{k\ge1}$ 在 $X$ 中稠密. 由 $\mathbb{K}$ 值函数的Lebesgue微分定理, 对任何 $k\ge1$ 以及几乎处处的 $t\in\mathbb{R}$ , 我们有
$\|u(t)-c_k\|=\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\int_t^{ t+h}\|u(s)-c_k\|ds$
对这样的 $t$ , 我们有
$\limsup_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\int_t^{ t+h }\|u(t)-u(s)\|ds$
$\le \|u(s)-c_k\|+\limsup_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\int_t^{ t+h }\|u(s)-c_k\|ds$
$=2\|u(s)-c_k\|$
于是对这样的 $t$ , 有
$\limsup_{h\rightarrow0}\left\|\frac{1}{h}\int_t^{t+h} u(s)ds-u(t)\right\|$
$\le\limsup_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\int_t^{ t+h }\|u(t)-u(s)\|ds\le2\|u(s)-c_k\|$
由于 $k$ 是任意的, 并且 $\{c_k\}$ 在 $X$ 中稠密, 故 $\limsup_{h\rightarrow0}\left\|\frac{1}{h}\int_t^{t+h} u(s)ds-u(t)\right\|$ 别无选择, 只能是 $0$ . $\blacksquare$

下面是一个重要的定理, 它帮助我们理解不同空间上的Bochner积分之间的关系, 这对初学者(比如我)来说尤为重要, 它可以帮助澄清许多问题.

定理13. 设 $X,Y$ 都是Banach空间, $u:S\rightarrow X$ 是Bochner可积函数, $T\in B(X,Y)$ , 则 $T\circ u$ 也是Bochner可积函数, 并且 $\int_STud\mu=T\int_Sud\mu$ .

为了说明它澄清了什么问题, 我们看一个例子. 设 $u\in C([0,T];{\cal S}(\mathbb{R}^d))$ , 那么我们当然有 $u\in C([0,T];L^1)$ , 也有 $u\in C([0,T];L^2)$ , 那么 $\int_0^Tu(t)dt$ 可以在 $L^1$ 中进行, 也可以在 $L^2$ 中进行, 那么我们怎么知道它们是否一样呢?事实上, 我们还有 $u\in C([0,T];L^1\cap L^2)$ , 所以我们可以在 $L^1\cap L^2$ 内考虑这个积分. 由于包含映射 $i: L^1\cap L^2\rightarrow L^1$ 是有界的, 所以我们知道 $i\int_0^Tudt=\int_0^Tiudt$ , 左边是 $L^1\cap L^2$ 中的积分再映入 $L^1$ 中, 右边是在 $L^1$ 中进行积分, 这个等式说明它们在 $L^1$ 中一致, 那当然是几乎处处相等的. 类似地, $L^2$ 中的积分也可以这么考虑, 所以不论是 $L^1$ 中的积分还是 $L^2$ 中的积分, 它们最后都几乎处处等于 $L^1\cap L^2$ 中的积分, 它们俩当然也几乎处处相等.

但是我们以后也会看到, 在不同空间中积分有时候也会带来质的差别.

关于Bochner积分的最后一件事是建立Fubini定理. 我们在应用上用不到抽象版本的Fubini定理, 所以只需建立 $\mathbb{R}^d$ 上的就够了. 我们用 $(x,y)$ 来标记 $\mathbb{R}^{m+n}$ 中的点, 其中 $x\in \mathbb{R}^m$ , $y\in\mathbb{R}^n$ .

定理14(向量值Fubini定理). 设 $f\in L^1(\mathbb{R}^{m+n};X)$ , 记 $f^x(y):=f(x,y)$ , $f^y(x):=f(x,y)$ . 则
(1)对几乎处处的 $x$ , 有 $f^x\in L^1(\mathbb{R}^n;X)$ ; 对几乎处处的 $y$ , 有 $f^y\in L^1(\mathbb{R}^m;X)$ .
(2)令 $F(x):=\int_{\mathbb{R}^n}f^x(y)dy$ ( $f^x$ 不可积时取函数值为零), 类似地 $G(y)=\int_{\mathbb{R}^m}f^y(x)dx$ . 则 $F\in L^1(\mathbb{R}^m;X)$ , $G\in L^1(\mathbb{R}^n;X)$ , 并且
$\int_{\mathbb{R}^{m+n}}fdxdy=\int_{\mathbb{R}^m}Fdx=\int_{\mathbb{R}^{n}}Gdy$
证明. 由于对称性, 我们只处理 $f^x$ 以及 $F$ 就够了, 另一半是完全类似的.
我们首先要证明对几乎处处的 $x$ , $f^x$ 是强可测的. 设有简单函数 $f_n\rightarrow f$ a.e., 我们来证对几乎处处的 $x$ , 有 $f_n^x\rightarrow f^x$ a.e..
令 $E$ 是 $f_n$ 不收敛到 $f$ 的 $\mathbb{R}^{m+n}$ 中的点全体, 则其测度 $\mathcal{L}^{m+n}(E)=0$ . 令 $E^x=E\cap\mathbb{R}^m_x=\{y|(x,y)\in E\}$ , 我们需要的是对几乎处处的 $x$ , 有 $\mathcal{L}^n(E^x)=0$ . 考察 $\chi_E\in L^1(\mathbb{R}^{m+n})$ , Tonelli定理告诉我们, 对几乎处处的 $x$ , $\chi_E^x$ 是可测的, 并且
$0=\int_{\mathbb{R}^{m+n}}\chi_Edxdy=\int_{\mathbb{R}^m}dx\int_{\mathbb{R}^n}\chi_E^xdy$
由于这些函数都是非负的,所以对几乎处处的 $x$ , 有
$0=\int_{\mathbb{R}^n}\chi_E^xdy=\int_{\mathbb{R}^n}\chi_{E^x}dy=\mathcal{L}^n(E^x)$
这说明对几乎处处的 $x$ , $f^x$ 是强可测的.
现在来证明(1), 注意到Bochner定理(定理9), 我们知道这只消对 $\|f\|$ 使用Tonelli定理.
现在还剩(2)未证. 再次注意到Bochner定理, $F\in L^1(\mathbb{R}^m;X)$ 只是Tonelli定理的推论. 然后我们来证最重要的积分换序. 任取 $\varphi\in X^*$ , $\varphi\circ f\in L^1(\mathbb{R}^{m+n})$ . 利用标量版本的Fubini定理, 有
$\int_{\mathbb{R}^{m+n}}\langle\varphi,f(x,y)\rangle dxdy=\int_{\mathbb{R}^m}dx\int_{\mathbb{R}^n}\langle\varphi,f^x(y)\rangle dy$
注意定理13, 有
$LHS=\langle\varphi,\int_{\mathbb{R}^{m+n}}f(x,y)dxdy\rangle$
$RHS=\int_{\mathbb{R}^m}\langle\varphi,\int_{\mathbb{R}^n}f^x(y)dy\rangle dx=\langle\varphi,\int_{\mathbb{R}^m}\left(\int_{\mathbb{R}^n}f^x(y)dy\right)dx\rangle$
由 $\varphi$ 的任意性, 我们最后得到
$\int_{\mathbb{R}^{m+n}}f(x,y)dxdy=\int_{\mathbb{R}^m}F(x)dx$
这正是我们想要的. $\blacksquare$

向量值函数笔记: Bochner积分

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