Lecture 6: Monte Carlo

蒙特卡洛方法就是通过大量的随机样本，去了解一个系统，得到所要计算的值。
获得的值不一定是真值，样本量越大，模拟出来的值越接近。

Topics:

• Foundation of Monte Carlo
• Random number generation
• Discretize stochastic processes
• Least square MC

Introduction

Monte Carlo simulation:

• one of the most important and widely used numerical methods in scientific computing
• invented in the 40s, born with computers
  • first used in Mahattan project, then for the development of Hydrogen bomb
• widely used in quantitative finance, more popular recently with the rise of GPUs

A classic example

Compute the value of π using Monte Carlo:

%pylab inline

import pandas as pd
import numpy  as np
import sys
import fmt

def sim_pi(ns) :
    es = np.random.uniform(size=[ns[-1], 2])
    d = np.array([x*x + y*y < 1. for x, y in es])
    
    return np.array([4.*np.sum(d[:n])/n for n in ns])

ns = 4**(np.arange(8))*100
ps = sim_pi(ns)

Population and samples

• 我并不了解这里为什么用了一个μ1

Sample mean

• 样本均值
• 样本均值的无偏估计
• 为什么要写成 1转置

Sample standard deviation

• s 尖是标准差的估计量
• s 尖服从 卡方分布，在n变大时变成正态
• 根据琴生不等式，有最后的结论

Variance of sample variance

• μ4 是总体的4阶中心矩，中心矩维基和中心矩百度， 定义一维随机变量 X的峰度。
• β = μ4 / σ4 是四阶标准矩

Monte Carlo error

Std dev of sample std dev

样本标准差的标准差

Population and sample statistics

下面是求圆周率的实例：

μ4的化简没有完全理解
1的概率和就是1。

下面这部分再次对应公式

var_var 使用上述完整的公式， std用了上面表格里近似的公式。
作图说明了随机变量的个数和均值方差/标准差，样本标准差的方差/标准差的关系。

# μ，σ方，μ4
u = np.pi/4
v = u*(1-u)
u4 = np.pi/4*(1-np.pi/4)**4 + (1.-np.pi/4)*(np.pi/4)**4


ns = 2**(np.arange(1, 14)) # ns 是 number of random samples
var_u = v/ns 
var_var = (u4 - v*v*(ns-3)/(ns-1))/ns
# 公式如上

beta = u4/v**2

fig = figure(figsize=[12, 4])
subplot(1, 2, 1)
loglog(ns, np.transpose([var_u, var_var]), '.-')
legend(['var of $\hat \mu$', 'var of $\hat s^2$']);
xlabel('Number of random samples')
title('Sample Variance');

ax = fig.add_subplot(122)
# 了解一下add_subplot 的参数和 subplot一样
loglog(ns, np.transpose([np.sqrt(var_u), np.sqrt((beta-1.)/4./ns)*np.sqrt(v)]), '.-');
title('Error Estimate')
legend(['std of mean', 'std of $\hat s$'], loc='best');
xlabel('Number of random samples');

• prudent to monitor the error of MC error (most people don't). 监测MC error的error很重要（大多数人不会）
• the err of MC err is more pronounced for fat tailed distributions, with large β. MC error的error 对β较大的 肥尾分布更为明显

Estimate mean and volatility

• 有10年的daily return，ri
• 有sigma 25%
• 有回报的分布是正太的，β = 3
• 历史均值估计值 u尖 = 1/n * ri求和
• 历史均值的标准差 std(μ尖) = sigma / sqrt(10) = 0.079
• 因为 只有10个独立的样本，所以误差很大
• 几遍使用日回报也没有帮助， std(μ尖) = 250 * sigma/sqrt(250) / sqrt(10*250) = 0.079
• vol 则是 日回报ri 的 标准差 s 的 误差？ [不确定这个说法]
• 代入公式 得到非常小的值，所以准确 [这个准确有何意义？已经不是 std了啊？]

Batching

• ceteris paribus是指 “在其他条件都不变的情况下”

Why Monte Carlo?

在物理学发展的现阶段，计算高维积分唯一的普遍方法，是Monte Carlo.

当积分区域的维数小于4时，用均匀网格计算积分的方法收敛速度更快，当维数大于4时，Monte Carlo方法的收敛速度更快，而当维数等于4时，两种方法不分高下，. 而计算高维积分时，Monte Carlo 方法是较优的选择。
Monte Carlo 方法 (一)

Curse of dimensionality

在金融中，我们仅此进入高维领域，每一个随机性来源都是一个单独的维度，every source of randomness is a separate dimension:

产品	维度
利率	LMM模型3M转发高达30Y
篮子选项basket options	往往有几十个名字
合成CDO synthetic CDOs	投资组合中的数百个发行人
抵押证券mortgage securities	每月付款，最多30年

大多数数值方法numerical methods 在高维high dimensionality 上失败

• PDE：4维是practical limit
• 树：很少超过3个维度

x = np.arange(0, 10)*.1
y = np.arange(0, 10)*.1
xm, ym = np.meshgrid(x, y)

figure(figsize=[12, 4])
subplot(1, 2, 1)
plot(xm, ym, '.');
xlabel('x')
ylabel('y')
title('100 Grid Samples');

subplot(1, 2, 2)
xs = np.random.uniform(size=[2, 100])
plot(xs[0,:], xs[1,:], '.');
title('100 Random Samples');
xlabel('x')
ylabel('y');

image.png

Monte Carlo is effective in combating high dimensions:

• the same set of random samples cover all dimensions equally

ℚ measure applications

• m(t) 是计价证券，ℚ 是 measure induced by the numerarie 计价的m(t)
• 经常用于高维度的奇异期权和 路径依赖的衍生品 exotic and path dependent derivatives

XVA adjustments: CVA/FVA/DVA

• an active research area
• XVAs can be expressed in expectations

CVA：当交易对手违约了，我的损失是多少。【条件期望】
DVA：当我违约了，我的对手损失是多少。【条件期望】
衍生品价值=无信用风险衍生品价值-CVA+DVA .

ℙ measure applications

Market Risk
Value at Risk: ℙ[v(T)<VaRα]=𝔼t[1l(v(T)<VaRα)]=α
完全不懂这句话的意思
Counterparty credit risk:
EE (expected exposure): et=𝔼[max(vt,0)]=𝔼[vt1(vt>0)]
完全不懂这句话的意思
PFE (potential future exposure): ℙ[vt1(vt>0)<PFEα]=α
完全不懂这句话的意思
Capital allocation
a new area where the MC method is successfully applied

这个1是什么意思

Advantages of Monte Carlo

Monte Carlo被广泛用于定量金融有很好的理由：

• dimensionality independent
• generic: widely applicable 广泛适用
• robust: can handle complicated payoff 健壮可以处理复杂的收益
• easy to implement and modify易于实施和修改
• precise error estimate 精确的误差估计
• easy to add more samples on the fly 易于添加更多样品
• can be made very fast for many problems (next lecture)
  可以很快解决很多问题（下一讲）
• often used to test more advanced pricing technique, like PDE
  通常用于测试更高级的定价技术，如PDE

相关链接：

中心矩维基
中心矩百度
维基 - 辛普森积分法
油管 - 辛普森积分法

Monte Carlo 方法 (一)
蒙特卡洛算法
这个帖子里面用蒙特卡洛求 e 1 - 2 积分的例子有学习价值