立体几何问题中二面角的转化和应用：面面—线面—线线关系，找准主线

立体几何是中学数学几大主要知识板块之一，很多的立体几何问题中都涉及到二面角关系，但是也通常都不能直接用二面角关系一步到位解决问题，需要通过面面—线面—线线关系相互转化，找准主线，才能解决问题。

继续以实例来描述：

最基本的条件反射的一些意识要有：正方形、射影中心→正四棱锥，中点→三角形中位线。

第（1）小题非常简单，三角形中位线就直接解决问题，线线—线面关系转化。

第（2）小题二面角相关问题，通常先用平面角把立体角直观标示出来，面面—线面—线线关系转化。P在底面射影为中心，E为PD中点，显然E在底面的射影为OD中点。

找出二面角的平面标示后，这里是直角，怎么用？勾股定理？

目的是求体积，底面清楚，求出高即可，怎么求？高在△EOD中，不在Rt△CFD中，直接用勾股定理无法解决，怎么把高转化Rt△CFD中从而用勾股定理？

CF⊂平面ACE，DF⊂平面ADE，于是通过△ACE、△ADE，高所在的△EOD与Rt△CFD就联系到一起了。

这里是计算题，长度上的联系，面积法？

顺着思路，辅助线自然而然就作出来了，如上图所示。

我解释一下为什么不直接作△ADE的高，而是作△APD的高：

设高EH=h，则等腰△EOD中的两个Rt△用勾股定理求出OE=DE=…，Rt△OAE用勾股定理求出AE=…。

但是△AED不是等腰三角形，高也就不好一步简单地直接用勾股定理求出，而△APD是等腰三角形，PD=2DE=…，从而可以直接用勾股定理求出△APD的高PG。然后就好办了，E为PD中点，显然△AED的高为△APD的一半，同底，∴面积也是一半。用高是一半、面积是一半都一样。下面我写一些计算的重要步骤。

与二面角有关的立体几何问题，一般都要通过面面—线面—线线关系转化，从而应用相应关系，找准主线，找对出发点或归结点，问题最终归结到最基础的知识、方法、思想层面。