π

John Wallis 在 1656 年发表了他的 π 乘积：偶数平方除以两个相邻奇数的无限乘积。 令人惊讶的是，科学家们在氢原子能态的量子力学公式中发现了它

image.png

1965年，英国数学家约翰·沃利斯（John Wallis）出版了一本数学专著，其中他推导出一个公式，发现圆周率等于无穷个分数相乘的积。2015年，罗切斯特大学的科学家们在氢原子能级的量子力学计算中发现了圆周率相同的公式 。

image.png

def JohnWallis(n):
    s = 1
    for i in range(1,n):
        s *= ((2*i)**2)/((2*i-1)*(2*i+1))
    return s*2

n = 100
print(JohnWallis(n))

3.1337091459408963

n = 10000
print(JohnWallis(n))
3.1415141108281714

n = 1000000
print(JohnWallis(n))
3.1415918681913633

而在2015年，物理学家发现，上述于17世纪发现的经典圆周率公式也隐藏在量子物理世界中。这令物理学家兴奋不已，因为它揭示了量子物理学和数学之间存在不可思议的特殊联系。

物理学家完全没有想到，早在360年前发现的纯数学公式竟能描述一个现代物理系统。

image.png

氢原子能级，这个发现与氢原子的能级有关。由于精确算出氢原子的能级是不现实的，于是物理学家Carl Hagen使用变分原理来估算氢原子的能级。

在把这些数值与常规计算法进行比较时，他发现比率中出现了一个不寻常的趋势。很快他意识到，这实际上是计算圆周率的沃利斯乘积的一种表现，这是第一次从物理学中得到圆周率公式，十分意外的结果。

对此，数学家Kevin Knudson表示，在氢原子的量子力学方程中竟然隐藏着圆周率的公式，这十分不可思议。

大自然在过去的80年里一直保守着这个秘密，现在终于被揭开了。这不禁令人好奇，在量子力学和纯数学之间是否还隐藏着其他的秘密联系呢？

汉密尔顿路径
问题教程
哈密尔顿路径是有向图或无向图中的一条路径，它对每个顶点都精确访问一次。检查一个图（有向或无向）是否包含哈密尔顿路径的问题是NP-完备的，找到一个图中所有的哈密尔顿路径的问题也是NP-完备的。以下图片更清楚地解释了汉密尔顿路径背后的想法。

在此输入图片描述
在这里输入图片描述 在这里输入图片描述 在这里输入图片描述
图1所示的图形不包含任何哈密尔顿路径。图2所示的图形包含两条汉密尔顿路径，在图3和图4中被强调。

以下是检查一个图形是否包含哈密尔顿路径的一些方法。

在一个有N个顶点的图中，汉密尔顿路径只不过是图的顶点[v1, v2, v3, ......vN-1, vN]的排列组合，使得vi和vi+1之间有一条边，其中1≤i≤N-1。因此，可以检查所有顶点的排列是否代表哈密尔顿路径。例如，图2中给出的图形有4个顶点，这意味着共有24种可能的排列组合，其中只有以下几种代表哈密尔顿路径。
0-1-2-3
3-2-1-0
0-1-3-2
2-3-1-0