用换元转化法解一般代数式的范围

2021-01-11 本文已影响0人天马无空

用换元转化法求一般代数式的范围

使用情景：一般代数式的范围求解

解题步骤：

第一步首先将对其进行作适当的换元；

第二步然后结合已知条件并运用不等式等相关知识对其进行求解；

第三步得出结论.

【例】实数 $a$ ， $b$ 满足 $a^2+ab+b^2=1$ ，且 $t=ab-a^2-b^2$ ，那么 $t$ 的取值范围是____.

【解】

设 $a=x+y$ ， $b=x-y$

所以 $(x+y)^2+(x+y)(x-y)+(x-y)^2=1$ ，

$t=(x+y)(x-y)-(x+y)^2-(x-y)^2$ ，

所以 $3x^2+y^2=1$ ， $t=-x^2-3y^2$

所以 $t=-x^2-3y^2=-\dfrac{1}{3}(1-y^2)-3y^2=-\dfrac{1}{3}-\dfrac{8}{3}y^2$ ，

因为 $y^2=1-3x^2$ ，

所以 $t=-x^2-3(1-3x^2)=-3+8x^2$ ，

因为 $-\dfrac{8}{3}y^2 \leqslant 0,8x^2 \geqslant 0$ ，

所以 $-3 \leqslant t \leqslant -\dfrac{1}{3}$ .

【总结】本题解题的关键是适当地选择换元法即令 $a=x+y$ ， $b=x-y$ ，不仅可以简化运算，而且能使问题简洁化.