《普林斯顿微积分读本》笔记

第1章：函数、图像和直线

1.1 函数

函数是将一个对象转化为另一个对象的规则，起始对象成为输入，来自称为定义域的集合，返回对象成为输入，来自称为上域的集合。

• 一个函数必须给每个有效的输入指定唯一的输入。
• 值域是所有可能的输出所组成的集合。
• 定于域如果没有给出，一般包括实数集尽可能多的部分。需注意：

  1. 分数的分母不能为零。
  2. 不能取一个负数的平方根（或四次根、六次根等）。
  3. 不能取一个负数或零的对数。

• 垂线检查：如果一个图形任何垂线与其相交多于一次，那么它就不是函数的图像；反之如果没有一条垂线和图像相交多于一次，那么它就是函数的图像。

1.2 反函数

给定一个函数ƒ，在ƒ的值域中选择y，在理想状况下，仅有一个x值满足ƒ(x)=y。如上述理想状况对值域中每个y都成立，即不同的输入对应不同的输出，则可定义一个新函数，它将逆转变换，从输出y出发，这个函数发现有且仅有一个输入x满足ƒ(x)=y。这个新函数称为ƒ的反函数，写作ƒ^-1。

• ƒ^-1 的定义域和ƒ的值域相同。

• ƒ^-1 的值域和ƒ的定义域相同。

• ƒ^-1(y) 的值就是满足 ƒ(x)=y 的x，所以，如果 ƒ(x)=y，那么 ƒ^-1(y)=x

• 水平线检验：如果每一条水平线和函数的图像相交至多一次，那么这个函数就有一个反函数；如果有水平线和图像相交多于一次，那么这个函数就没有反函数。

  

• 求反函数：如果知道函数的图像，反函数就是原函数沿着y=x这条直线的对称图像。

  

• 反函数的反函数：如果ƒ有反函数，那么对于在ƒ定义域中所有x，ƒ^-1(ƒ(x))=x 均成立；同样，对于在ƒ值域当中所有y，都有 ƒ(ƒ^-1(y))=y。即ƒ^-1是ƒ的反函数，且ƒ是ƒ^-1的反函数。也就是说，反函数的反函数就是原始函数。

1.4 奇函数和偶函数

如果对于ƒ定义域里所有x都有 ƒ(-x) = ƒ(x)，则ƒ是偶函数。
如果对于ƒ定义域里所有x都有 ƒ(-x) = -ƒ(x)，则ƒ是奇函数。

• 偶函数的图像关于y轴具有镜面对称性。
• 奇函数的图像关于原点有180°的点对称性。
• 两个奇函数之积是偶函数，两个偶函数之积仍为偶函数，奇函数和偶函数之积是奇函数。

1.5 线性函数的图像

形如 ƒ(x)=mx+b 的函数叫做线性函数。因为它们的图像是直线，直线的斜率是m

• 如果已知直线通过点(x₀,y₀)，斜率为m，则 y-y₀ = m(x-x₀)
• 如果一条直线通过点(x₁,y₁)和(x₂,y₂)，则它的斜率等于 (y₂-y₁)/(x₂-x₁)

1.6 常见函数及其图像

1. 多项式
   多项式是以x的非负次幂建立，以1、x、x²、x³等为基本项，用实数同这些基本项相乘，最后把有限个项加起来。

   p(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+……+a₂x²+a₁x+a₀

   最大的幂指数n叫做多项式的次数。

   • 二次函数：p(x)=ax²+bx+c
     根据判别式的符号可判断二次函数有几个解，通常用希腊字母Δ表示判别式 Δ=b²-4ac。若 Δ＞0，有两个不同的解；若 Δ=0，只有一个解；若 Δ<0，在实数范围内无解。对于前两种情况，解为：
     

2. 有理函数
   形如 p(x)/q(x) ，其中p和q为多项式的函数，叫作有理函数。最简单的有理函数是多项式本身，即q(x)为1的有理函数。另一种简单的例子是1/xⁿ，其中n为正整数。
   

   

3. 指数函数和对数函数
   一般 y=a^x，(a为常数且a＞0，a≠1)叫作指数函数
   

   

   如果a^x=N，（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log_aN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

4. 带有绝对值的函数
   

   

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第2章：三角函学回顾

2.1 基础知识

• 旋转一周，我们说2π弧度
  

  

  半径为1个单位的圆，周长是2π个单位，这个元的一个扇形弧长就是这个扇形的圆心角的弧长
  

  

• 正弦、余弦、正切：
  

  

• 余割、正割、余切：
  

  

• 常用查询表：
  

  

2.3 三角函数的图像

正弦、余弦、正切函数的图像都是周期的

• 正弦函数：
  

  
  sin(x) 是x的周期函数，其周期为2π。该图像关于远点180°点对称，故 sin(x) 是x的奇函数。

• 余弦函数：
  

  
  该图像关于y轴镜面对称，故 cos(x) 是x的偶函数。

• 正切函数：
  

  
  由图可知 tan(x) 是x的奇函数。
  当x是π/2的奇数倍时，y = tan(x) 有垂直渐近线（因而此处是无定义的）

2.4 三角恒等式

• 正切和余切可以用正弦和余弦来表示：
  

  

• 毕达哥斯拉定理（用三角函数表示）： cos²(x)+sin²(x) = 1，对于任何x都成立。
  现在等式两边同除以 cos²(x)，得到：1+tan²(x) = sec²(x)
  或者同除以sin²(x)，得到：cot²(x)+1 = csc²(x)

• 角的和与倍角公式：
  sin(A+B) = sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)
  cos(A+B) = cos(A)cos(B)-sin(A)sin(B)
  sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
  cos(2x) = 2cos²(x)-1 = 1-2sin²(x)

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第3章：极限导论

3.1 极限：基本思想

当x接近于α时，ƒ(x) 的值就会极度接近L。

x在式中是个虚拟变量，用来表示某个非常接近于α的量，结果中不可能包含这个虚拟变量。

3.1 左极限和右极限

如图，x→3的左极限等于1，右极限等于-2，记作：

如果有

则等价于
如果左极限和右极限不相等，则 不存在。

3.3 何时不存在极限