线性代数学习总结-行列式

2020-01-04 本文已影响0人 ZerLon51

行列式是一个单独的数字，这个数字包含了矩阵的很多信息。
比起直接讲行列式令人费解，而又让人觉得神奇的计算公式，我觉得应该从线性变换以及二维面积（三维体积更高维的什么我也不知道）入手要比较容易理解一点。

首先，对于方程 $Ax=b$ 而言，其实可以看作 $Ax=Ib$ ，这里假设矩阵 $A$ 代表的是另一种坐标空间，其实 $Ax=Ib$ 表示的意思就是，向量 $x$ 经过变换，转换成了单位坐标空间 $I$ 中的坐标 $b$ 。或者如果 $x$ 是矩阵的话，相应的意思也成立。这里跟前面讲的矩阵求解的时候，记录变换矩阵 $E$ 是一个意思。

举个简单的栗子

二维空间中 $I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$ 单位矩阵 $I$ 的两个分量构成了一个正方形，如下图
1x1
然后，如果我们想要 $I$ 的第一个分量 $(1,0)$ 缩放 $a$ 倍，第二个分量 $(0,1)$ 缩放 $b$ 倍，于是改变单位矩阵 $I$ 为 $I_1=\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}$ 那么， $I_2$ 的两个向量组成的图形的面积很明显变成了 $ab$ ab （ps：上面图(b,0)应该是(0,b)）
如果我们再改变 $\begin{bmatrix}a\\0\end{bmatrix}$ 使之往y的方向平移 $c$ 个单位，同样的我们改变另一个向量 $\begin{bmatrix}0\\b\end{bmatrix}$ 使之往 $x$ 的方向平移 $d$ 个单位，最终图形变成了一个平行四边形 abcd 它的面积变为了 $ab-cd$
因此，对于二维空间而言，用几何的意义来理解，可以理解为ab-cd就是原面积的缩放倍数。拓展到三维空间就可能是体积，更高维的什么其他东西。

$ab-cd$ 就是该矩阵的行列式，记作 $detA=|A|$

性质

行列式为0说明该矩阵不可逆
行交换会改变行列式的符号
行列式的线性组合规则如下

$\begin{vmatrix}ta_{00}&ta_{01}&...&ta_{0n}\\a_{10}&a_{11}&...&a_{1n}\\...\\a_{m0}&a_{m1}&...&a_{mn}\end{vmatrix}=t\begin{vmatrix}a_{00}&a_{01}&...&a_{0n}\\a_{10}&a_{11}&...&a_{1n}\\...\\a_{m0}&a_{m1}&...&a_{mn}\end{vmatrix}$
$\begin{vmatrix}a_{00} + a'_{00}&a_{01}+ a'_{01}&...&a_{0n}+ a'_{0n}\\a_{10}&a_{11}&...&a_{1n}\\...\\a_{m0}&a_{m1}&...&a_{mn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{00}&a_{01}&...&a_{0n}\\a_{10}&a_{11}&...&a_{1n}\\...\\a_{m0}&a_{m1}&...&a_{mn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a'_{00}&a'_{01}&...&a'_{0n}\\a_{10}&a_{11}&...&a_{1n}\\...\\a_{m0}&a_{m1}&...&a_{mn}\end{vmatrix}$

如果两行线性相关，行列式为0

运算就不讲了。

线性代数学习总结-行列式

性质

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