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修仙者

前知五百年，后知五百年

上一篇文章提到，函数其实就是数字之间的一种变化规律，掌握了这种特殊的规律，我们就可以做出预测。

我们掌握的规律越多，越普适，就能通过越少的已知条件推算出越多的未来。

比如，美国登月的时候，物理学家和工程师们只需要在地上算一算，就知道什么时候火箭着陆月球。最后计算出来的差值好像只有几分钟。这就是科学的魔力。

从这个意义上来讲，科学家他是当之无愧“神仙”，掐指一算，前知500年，后知500年，万事万物尽在掌握。

总得来说，修仙的游戏规则就是把“预测”这件事情做到极致，往往从这三个方面入手：1.规律尽可能简洁 2.预测尽可能准确 3.预测范围尽可能大。

所以，当阿基米德悟出了浮力的规律，直接光着屁股从浴缸中跑出来，在大街上狂奔，也就不足为奇了。世界尽在你的掌握，这是一种权力，也是一种足以令人疯狂的荣耀，一种和玉皇大帝肩并肩的感觉。

函数的无聊性

函数本身是规律，但是深究下去，他们中间还包含规律。

最常见的规律就是所谓的“单调性”，其实也就是，参数和输出值的一种关系。

如果参数增大，输出值也增大，这种现象就是“递增”；如果正好相反的话，这种现象就是“递减”。

“单调”的意思就是某一个函数，一直是“递增”或者“递减”的，因为没有什么变化，所以也就没什么意思。

用文绉绉的话来说叫做“单调”，但是这种叫法太不接地气了，我不喜欢。

所以我一般叫做“函数的无聊性”，另外，我还喜欢叫做“增减性”，因为这种叫法更直观，不绕弯子。

无聊和递增递减

函数无聊性的定义：如果函数的，参数和返回值一直同步增大，那么就是“增函数”；如果正好相反的话，那么就是“减函数”。这两种变化因为是“一直”的，所以都是无聊的。

无聊性的数学语言描述：如果，当任意时，有，是增函数；当任意时，有，是减函数。在这两种情况下都是无聊的。

为什么课本上的定义那么繁琐?

课本的定义和我这里的定义，最大的不同就是，课本中引入了“函数区间”这个概念。

我认为引入这个东西是完全没有必要的，简直就是狗尾续貂。违背了修仙的法则。

因为把这个“函数区间”的概念删除之后，整个表述是完全正确的，所以说是那是啰嗦。

之所以那是有害，是因为加上这个无用的概念，会让人忘记这么一个事实：从一个函数中截取一段，其实是改变了“定义域”，也就是改变了“规则”，其实完全是新的一个函数。

课本上的定义

所以，下面的这个函数是没有单调性的。但是很显然，其中的一部分是由单调性的，那一部分是一个新的函数。

5×sin(x)

从盗窃看函数无聊的作用

在进行盗窃之前，往往会进行一下蹲点，你需要了解对象的活动规律，如果你预先知道这个人很无聊，每天晚上都一个点回家，那么你只需要蹲点一次就可以了。

但是如果这个人特别的有聊，整天变来变去的，那么你就惨了，除非你能提前拿到他的所有安排，否则你就不能安心盗窃，因为对象可能随时就回来。

函数也是这样的，如果你知道了一个函数，非常无聊，那么你就可以在仅仅知道一点情况的条件下，知道很多惊人的内幕。

比如，如果你知道一个函数是递增的，那么你就可以在已知定义域的情况下，直接预测出其值域。

无聊运算

运算也是一种规律，往往是两种东西的相互作用规律。

那么，函数之间的相互作用，有什么规律呢?

这里探讨的时候，加减中讨论加，乘除中讨论除，因为本质是一回事；增减以增为代表，因为也是一回事。

加减

增函数+常量

无聊性不变。因为，无聊性是参数和输出值之间的一种相对变化变化规律。

比如说，这个函数，如果你改成。

每次增加，还是每次增加，永远不会反过来。

比如有两个工人，其中一个已经干了十年了，家里小有积蓄，另外一个才刚刚入行，但是两个人的工资是一样的。虽然算下来肯定是第一个工人剩下的钱多，但是他们赚钱的能力是完全一样的。

从图上来看就是这样的。

所以说，如果要看函数是否无聊，完全可以把没有参数的部分全部去掉，他们根本就没有卵用。

f(x)=x+1 f(x)=x+1000

增函数+增函数

那么还是增函数，因为两股势力都是想要增加的，在一起只会更加强大，只会增加的速度更快。产生“双剑合璧”的效果。

还是拿钱来举例子，如果有一对情侣，他们各自都能挣钱攒钱，结婚之后作为一个整体，他们的挣钱速度会更快。

双剑合璧

增函数+减函数

这是不能确定的，因为两股势力是有弱有强的。

很可能是在某一段，东风压倒西风，在某一段西风压倒东风。并没有什么浅显的规律。

还是拿钱来举例子，如果有一对情侣，其中有一个人能挣钱，另一个人则相反，他每个月几乎都会亏钱，那么他们结婚之后就不一定会怎么样了。如果亏钱的人亏得比较少，那么也许算下来还能有盈余，如果亏得多了，从家庭整体看，就是在亏钱。

乘除

增函数x常量(非0)

的意思是，x增加一倍。

现在我们乘上 //，变成//，看看之间图像的变化。

image f2(x) f3(x)

从这里可以看到，无聊性和代数前面的符号有很大关系；变化越剧烈，整个曲线也越陡峭。

所以，这里的规律是“同增异减”。

增函数x增函数

一旦涉及到乘法，就遇到一个很尴尬的问题。

乘法运算会产生幂运算，幂函数并不是个无聊的函数，变化起来很复杂，所以没有浅显的规律。

增函数x减函数

没有浅显的规律，同上。

函数特有的运算：从前有坐山

从前有座山, 山上有座庙, 庙里有个老和尚和一个小和尚, 有一天, 老和尚对小和尚说: 从前有座山, 山上有座庙, 庙里有个老和尚和一个小和尚, 有一天, 老和尚对小和尚说: 从前有座山, 山上有座庙, 庙里有个老和尚和一个小和尚, 有一天, 老和尚对小和尚说.......(以此循环)

递归

这就是非常出名的“从前有坐山”这个故事，你会发现故事之中，套着一个故事。

这种东西叫做“递归”，这种形式就是一种“递归”了。

如果把递归给展开，那么就会形成一种新的函数，，若，则。

生活中其实经常能够见到“递归”的身影。比如，今年种了一株玉米，然后剩下一些种子，之后种子又播下去继续种，如此往复，这是典型的“递归”，还有愚公说的“子子孙孙，无穷匮矣”，是一个意思。

另外在食品包装袋上，我们能经常见到这样的广告，不知道小时后你有没有想过，这种图是如何制作的。反正我是想了，没想出来，哈哈哈。

食品包装袋上的递归广告

嵌套(运算)

那么，如果是叫做什么呢?这种形式叫做“复合函数”，但是我认为这个名字太过于晦涩，所以我叫做“嵌套函数”，直观易懂。

那么，问题来了：对于无聊性而言，嵌套运算有什么规律？

有规律的，而且规律是“同增异减”，这个非常类似乘法的符号规律。

其实在生活中，这种现象到处都是。

比如一个人生病了，如果你给她喝的东西是药，在一定范围内加大药量，是有利于病情好转；反之如果是毒药，加大剂量只会阻碍病情的好转。

也就说，嵌套一个增函数，不会改变无聊性，而只会改变剧烈程度；反之，减函数则有改变无聊性的作用。

这个证明起来并不难，这是我从教辅上拍下来的，如果我讲的不够清楚，你想自己领悟一下，可以尝试证明：

嵌套函数无聊性的判断

道破无聊本质

之前我们一直说，无聊是一种参数和输出值的相对变化关系。

显然，用无聊这个简单的词语来描述某种关系，显然是太粗糙了。

是否能够用更准确的数学语言来定义这种相对变化关系呢?

当然是有的，其实很容易想到。

就是，表示变化。。

在数学上，这个比值叫做“斜率”，其实非常好理解，可以看看上面的图像，你会发现，有一些图像非常陡峭，陡峭就说明变化所引起的变化非常大。

从图像角度来说，我认为“斜率”这个词用的是非常好的，但是从另一个角度上来说，我觉得可以叫做“变化速度”，简称“速度”比较好。这两个词以后我都会用到的。[1]

斜率是天天用到的知识

高中物理中的斜率

如果你还记得高中物理的知识，那么你可能会想起“瞬时速度”这个概念，就是计算速度，就是在计算斜率。其实斜率无处不在。

某时的速度

如果你想测量某一个点的斜率，似乎是不太可能的，因为它不是一个线，而只是一个点。
一个点就没法同时取到x1和x2，因为这个是无限小的。

这个问题我现在也不懂，但我知道他开了一扇门，这扇门就是微积分。

牛顿力学的数学基础之一就是微积分，他本人也是微积分的开山鼻祖之一。

总之，带你通向一个绚丽的新世界，它既简单又美妙。

关键是要对学生讲清楚， 他们所学的(微积分)不是什么神秘的东西， 而是任何人都能懂得的简单事情。
--- 《高观点下的初等数学》 克莱因

提一嘴对称

很多函数都是对称的，依照这个性质，我们可以再制造函数其中一半的基础上，直接推算出另一半。

围绕着原点对称和围绕着y轴对称的特性最为特殊，因为他们的形式最简洁。这样对称性质的函数，分别被称为奇函数和偶函数。

感觉这种叫法很难懂，所以我直接用原本意思命名[2]。

原点对称：

y轴对称 ：

结合这图理解一下，其实非常简单。

既然是对称的，那么参数-x相比x来说，最终输出值的绝对值都是一样的。

关于y轴对称的，就完全相同；关于原点对称的，就绝对值相同符号相反。

典型对称函数图像

典型函数图像：

一次分段函数y轴对称 幂函数y轴对称 正比例函数原点对称 反比例函数原点对称

函数运算中的对称

就“加减乘除”四则运算来说，规则非常简单。
还是“同增异减”，太好记了。

函数运算中的对称_同增异减

对于嵌套运算来说，稍微复杂一点，而且我完全没兴趣，那还是直接贴书。
知道嵌套运算也是有规律的就好了，解决问题的时候很可能会用得到。

嵌套运算与函数的对称性

任何函数都可以拆成一个函数一个偶函数

这个性质非常好理解，看两眼就能懂。直接抄书。

任何函数都可以拆成一个函数一个偶函数

总结

1. 科学目的是找到世界的规律,追求最简洁和最准确的预测。
2. 函数变化的规律之一是无聊性,细分为递增和递减.其本质是参数和输出值的一种变化规律。
3. 函数之间有基本的五项运算:加减乘除以及嵌套,其中有些运算有无聊性上的规律。
4. 斜率或者说是变化速度,能够更精确的描述参数和输出值的变化规律.并由此开启微积分的大门。

新旧名词对照

单调性 → 无聊性/增减性

复合函数 → 嵌套函数运算(嵌套运算)(嵌套)

斜率 → 斜率和变化速度(速度)

奇偶性 → 奇偶性(解析式角度)和对称性(图像角度)

定义和定理

无聊性的定义:当任意，有，是增函数；当任意时，有，是减函数。在这两种情况下都是无聊的。

无聊运算规则:

增函数+常量(非0) → 不变 | 增函数+增函数 → 不变 | 增函数+减函数 → 无法确定

增函数×常量(非0) → 同增异减 | 增函数×增函数 → 无法确定 | 增函数×减函数 → 无法确定

嵌套运算 → 同增异减

无聊管不着定理:无聊性和常数项无关

注释

[1] 之前曾经叫做“剧烈度”，参考了维基百科上的内容后，我觉得还是叫做“变化速度”更靠谱更简洁。
[2] 关于“奇偶性”这个名称的解释，请看这篇文章。
另外，所以我建议采用“奇偶性”这种说法，是因为这种表述过于狭窄。如果一个函数具有“对称性”，但不具有狭义上的“奇偶性”(基于Y轴和原点对称)，我们依然可以通过函数的一部分，知晓另一部分。在这种情况下，只需要移动坐标系，就可以重新让这种对称“简洁”起来。

后续的讨论

关于文章的意义和函数单调性的回应

大佬的回应

的确就是换了个方法叙述，但对于学习来说意义很大

就是换了个方式叙述。因为您很熟了，所以不知道有什么用，反而感觉啰嗦。这非常正常，如果我早就学会了，看到这些内容，我会直接跳过去。
如果给别人讲，那么用处大了。里面结合了大量的比喻，而且逻辑清晰亲切，这对理解来说非常有帮助。

这叫做“费曼技巧”和“以教为学”，是一种自学的方法。

也就是把自己学到的东西讲出来，算是对自己的一种“考试”，在讲述的过程中，你会发现，很多地方其实自己是不懂的，因为你没法说出来。
(该说法现加入FQA)

关于“函数具有单调性”的疑问

对于“函数具有单调性”，我还是感觉有点不能理解。
难道有函数，可以无限分区间，无论多小的区间，都没有一个地方是单调的吗?

后续

大家给出了一些这样的例子，大佬也重新说了一下他的意思。
意思就是反正函数也要给出定义域之类的。
总之，我现在还不太理解这么描述的好处，以后可能会理解吧。

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作者信息

我是心如止水，欢迎你和我换个姿势学数学。

心如止水：阅读 思考 践行