OpenGL的矩阵

假设，在空间中有一个点，使用XYZ描述它的位置。此时让它进行旋转或者平移，我们需要知道这个点的新位置，那么此时，我们就可以用矩阵进行计算得出新点的位置。

定义

矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合 ^[1] ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。

表达式

假如我们定义一个n行m列的矩阵A，那么我们可以用如下的公式进行表达：

矩阵.jpg

上图就是一个n行m列的矩阵，其中a为矩阵中的元素，a的第一个下标表示所处行的位置，第二个下标表示所处列的位置。

矩阵只有一行或者一列的时候，这个矩阵可以称之为向量。

在OpenGL中，矩阵可以进行以下定义:

//3*3的矩阵
M3DMatrix33f transform
//4*4的矩阵
M3DMatrix44f transform

矩阵的运算

• 加法
  矩阵加法就是矩阵里对应的元素进行加法，公式如下:
  

  矩阵加法.jpg 矩阵的加法满足下列运算律：
  A+B = B+A；
  (A+B)+C = A+(B+C)
  矩阵加法必须是同型矩阵，即A,B矩阵行列相同

• 数乘
  矩阵的数乘等于数乘以矩阵里的每一个元素，公式如下：
  

  矩阵数乘.jpg

• 转置
  把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵 ，这一过程称为矩阵的转置。公式如下：
  

  矩阵转置.jpg

• 矩阵相乘
  矩阵相乘公式如下：
  

  矩阵相乘.jpg 注意:两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。例如，当A矩阵为mn矩阵时，B矩阵必须为nx才能进行矩阵相乘，切得到的结果为m**x。
  故矩阵相乘不满足交换律。

单元矩阵

单元矩阵是一个对角线为非零元素，其它元素为零的方形矩阵。

单元矩阵.jpg

上图就是一个单元矩阵，对角线元素为1，其他元素为0。
单元矩阵用m3d库定义方法：

//3*3的单元矩阵(float)
void m3dLoadIdentity33(M3DMatrix33f m);
//3*3的单元矩阵(double)
void m3dLoadIdentity33(M3DMatrix33d m);
//4*4的单元矩阵(float)
void m3dLoadIdentity44(M3DMatrix44f m);
//4*4的单元矩阵(double)
void m3dLoadIdentity44(M3DMatrix44d m);

行优先矩阵和列优先矩阵

行优先矩阵:指的是矩阵元素以行的顺序进行排列。
列优先矩阵:指的是矩阵元素以列的顺序进行排列。

行优先矩阵和列优先矩阵.jpg 在OpenGL中，我们一般使用列优先矩阵。

OpenGL中的变化

变换	解释
视图变换	观察者的位置变化
模型变换	在场景中物体的变换(平移、缩放、旋转等)
模型视图变换	模型、视图变换相乘后的结果
投影	改变视景体的大小和设置投影方式(正投影、透视投影)
视口	对窗口进行缩放

视图变换

一般来说，视图变换是引用场景中的第一个变换，它用来确定观察者的位置，默认情况中，在透视投影下位于原点(0,0,0)，并沿着Z轴往负方向观察。(如同从屏幕上往屏幕里面看)。
为什么说，视图变换要放在最开始呢？
这是因为对于坐标系而言，进行试图变换，就会更换坐标系，接下来的变换都会基于新的坐标系进行。(就像我们看电视，会想用一个更舒服、更好的姿势进行观看)

模型变换

模型变换指的是针对物体进行的一系列操作变换，例如平移、旋转、缩放等。

• 平移
  平移顾名思义指的是一个物体大小、弧度不变，按照一个方向进行移动。 平移
  如图所示，该正方形沿着Z轴进行了平移，公式如下:

//m是一个指针，存储了变换后的结果
//x表示x轴移动的距离
//y表示y轴移动的距离
//z表示z轴移动的距离
inline void m3dTranslationMatrix44(M3DMatrix44f m, float x, float y, float z)

• 旋转
  *平移值得是一个物体 在某个点进行旋转
  image.png

如图所示，该正方形在原点进行旋转，公式如下:

//m是一个指针，存储了变换后的结果
//angle表示旋转的角度
//x表示x轴移动的距离
//y表示y轴移动的距离
//z表示z轴移动的距离
void m3dRotationMatrix44(M3DMatrix44d m, double angle, double x, double y, double z);

• 缩放
  缩放指的是一个物体按一定比例进行大小的变换。
  image.png 公式如下:

//m是一个指针，存储了变换后的结果
//x表示x轴缩放的比例
//y表示y轴缩放的比例
//z表示z轴缩放的比例
inline void m3dScaleMatrix44(M3DMatrix44f m, float xScale, float yScale, float zScale)

• 投影变换
  投影变换分为正投影和透视投影。 投影投影和正投影.jpg
  上图中，第一个投影是透视投影，模型距离屏幕越近时，物体看起来越大，越远时越小。
  第二个投影是正投影，不论物体的远近，大小看起来都是一样的。
• 综合变换
  当我们需要对模型先进行平移火旋转时怎么处理呢？我们使用矩阵相乘。公式如下:

//product存放矩阵相乘后的结果
//a表示第一个矩阵
//b表示第二个矩阵
void m3dMatrixMultiply44(M3DMatrix44f product, const M3DMatrix44f a, const M3DMatrix44f b);

矩阵堆栈

在之前的用OpenGL绘制金字塔、圆环、扇形案例中，我们已经提到过矩阵堆栈。

矩阵堆栈.png
如上图所示，在栈的流程中，后来的矩阵都是通过push的方式往里面加入，而且新假如的矩阵都是存放在栈顶。当要离开栈时，需要用到pop方法，pop时是将栈顶的元素从栈中拿出来，所以栈遵循先进后出的规则(FILO)。

用法

• 矩阵定义

//矩阵的深度为64
GLMatrixStack(int iStackDepth = 64);

• 单元矩阵堆栈

//加载单元矩阵
inline void LoadIdentity(void) {
    m3dLoadIdentity44(pStack[stackPointer]); 
}

正如我们所说的矩阵堆栈流程，加载单元矩阵其实就是往栈顶加载一个元素，但是并没有告诉我们是什么元素，那就是默认添加一个单元矩阵。

• 添加矩阵

//加载矩阵
inline void LoadMatrix(const M3DMatrix44f mMatrix) { 
    m3dCopyMatrix44(pStack[stackPointer], mMatrix); 
}

加载矩阵就是往栈顶添加了一个元素。

• 矩阵相乘

inline void MultMatrix(const M3DMatrix44f mMatrix) {
      M3DMatrix44f mTemp;
      m3dCopyMatrix44(mTemp, pStack[stackPointer]);  
      m3dMatrixMultiply44(pStack[stackPointer], mTemp, mMatrix);
}

由代码可以看出，首先从栈顶复制一个矩阵存放在mTemp矩阵里，然后和传入的mMatrix相乘后存入栈顶。

• 入栈(无参数)

inline void PushMatrix(void) {
            if(stackPointer < stackDepth) {
                stackPointer++;
                m3dCopyMatrix44(pStack[stackPointer], pStack[stackPointer-1]);
                }
            else
                lastError = GLT_STACK_OVERFLOW;
            }

可以看到，判断stackPointer是否大于栈的深度，如果小于，那么stackPointer加一，然后把栈里的第二个元素复制到栈顶

• 入栈(有参数)

void PushMatrix(const M3DMatrix44f mMatrix) {
            if(stackPointer < stackDepth) {
                stackPointer++;
                m3dCopyMatrix44(pStack[stackPointer], mMatrix);
                }
            else
                lastError = GLT_STACK_OVERFLOW;
            }

可以看到，判断stackPointer是否大于栈的深度，如果小于，那么stackPointer加一，然后把传入的参数放到栈顶

• 出栈

inline void PopMatrix(void) {
            if(stackPointer > 0)
                stackPointer--;
            else
                lastError = GLT_STACK_UNDERFLOW;
            }

把stackPointer--从而移除最顶上的元素。