MIT-18.06-线性代数（第八讲）

2022-04-08 本文已影响0人林枫bioinfo

第八讲 —— 可解性及解的结构

本讲将完整解出线性方程组，目标是： $Ax=b$ 。其是否有解需要通过消元来确认，有解则需要知道是唯一解还是多解，并求出所有解。

1. 可解性

有方程组， $\left\{ \begin{array}{c} x_1+2x_2+2x_3+2x_4=b_1 \\ 2x_1+4x_2+6x_3+8x_4=b_2 \\ 3x_1+6x_2+8x_3+10x_4=b_3 \\ \end{array} \right.$ ，如果方程组有解， $b_1,b_2,b_3$ 需要满足什么条件？想要方程组有解，必须有 $b_1+b_2=b_3$ 。换句话说，如果左侧各行的线性组合得到 $0$ ，那么右侧常数的相同组合必然也等于 $0$ 。

写成增广矩阵形式， $\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & b_2 \\ 3 & 6 & 8 & 10 & b_3 \\ \end{array}\right]$ ，开始消元 ——> $\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_2-2b_1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_3-3b_1 \\ \end{array}\right]$ ——> $\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_2-2b_1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b_3-b_2-b_1 \\ \end{array}\right]$ ，现在方程三变为 $0=b_1+b_2+b_3$ ，这就是有解的条件，与之前的估计保持一致，即需满足 $b_1+b_2=b_3$ 。假设右侧向量 $b=\begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix}$ ，此时方程有解，代入得方程组 $\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right]$ 。

可解性（Solvability），有解时右侧向量 $b$ 需满足的条件， $b$ 满足什么条件，才能让 $Ax=b$ 总有解。从列空间的角度， $b$ 必须属于 $A$ 的列空间，有解，也就是说 $b$ 必须是 $A$ 各列的线性组合。从行的角度，如果 $A$ 各行的线性组合得到零行，那么 $b$ 中元素的同样组合必然也是零。

2. 求 $Ax=b$ 的所有解

第一步只求一个特定的解，即特解。将所有自由变量设为 $0$ ，然后解出 $Ax=b$ 的主变量。本例中设 $x_2=0,x_4=0$ ，方程组此时为 $\left\{ \begin{array}{c} x_1+2x_3=1 \\ 2x_3=3 \\ \end{array} \right.$ ，回代得到 $x_1=-2,x_3=3/2$ 。特解 $x_{paticular}=\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 3/2 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$ 。

其他的解如何求？这里的关键是：可以加上零空间中的任意 $x$ ，将 $x_{nullspace}$ 与 $x_{particular}$ 相加，最终结果是所有的解。即complete solution $x=x_{p}+x_{n}$ 。因为 $Ax_{p}=b,Ax_{n}=0$ ，则有 $A(x_{p}+x_{n})=b$ ，对于方程组某解，其与零空间内任意向量之和仍为解。

回到本例， $x_{complete}=\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 3/2 \\ 0 \\ \end{bmatrix}+c_1\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ 。此处零空间 $c_1\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ 是 $R^4$ 中的二维子空间。 $x_{complete}$ 是不穿过原点而穿过特解 $x_p$ 的二维平面。

3. $m×n$ 矩阵 $A$ 的秩 $r$

矩阵有 $m$ 行， $n$ 列， $r$ 个主元，此时必然有 $r \leq m,r \leq n$ 。
满秩（full rank），即 $r$ 取最大时的情况，这存在两种可能性，分别对应于 $m$ 和 $n$ 的数值。

列满秩（full column rank）， $r=n$ ，意味着每一列都有主元，没有自由变量，这时零空间 $N(A)$ 内只有零向量，因为没有自由变量能够赋值，而 $Ax=b$ 如果有解的话只有特解 $x_p$ 一个，我们称其为唯一解，或者无解。

举例有矩阵 $A=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \\ 6 & 1 \\ 5 & 1 \\ \end{bmatrix}$ ，其简化行阶梯形式 $R=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ 。这个矩阵有两个无关的行，这里有四个方程，却只有两个未知数，不可能总有解。只有当右侧向量 $b$ 恰好是各列的线性组合时，方程组才有解，例如 $b=\begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ 7 \\ 6 \\ \end{bmatrix}$ ，对应特解 $x_p=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ 。

行满秩（full row rank）， $r=m$ ，每一行都会有主元，消元时不会出现零行，因此对 $b$ 没有要求，对应任意 $b$ ， $Ax=b$ 都有解。自由变量个数为 $n-r$ ，也就是 $n-m$ 。行满秩情况总有解。

举例有矩阵 $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 5 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$ ，其行最简形式 $R=\begin{bmatrix} 1 & 0 & * &* \\ 0 & 1 & * & * \\ \end{bmatrix}$ ， $R$ 中各主列构成单位阵，剩余部分构成零空间内特解。

满秩（full rank）， $r=m=n$ 的情况，举例矩阵 $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{bmatrix}$ ，首先这种矩阵肯定是方阵，然后它满秩，这得到的是一个可逆矩阵，其 $R=I$ 。零空间只包含零向量，对于 $Ax=b$ 则一定有解。由于秩等于 $m$ ，任意 $b$ 都有解，又由于秩等于 $n$ ，因此解唯一。