2019-03-20

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行列式的性质
$|A^{T}| = |A|$
互换行列式中的两行（列），行列式变号
推论：如果行列式D中有两行（列）完全相同，则 $D = 0$
如果行列式D 中有两行（列）成比例，则 $D = 0$
设 $A,B$ 为n阶方阵，则 $|AB| = |A|\times|B|$ (注意成立的前提是A,B为n方阵)
行列式按行（列）展开
设则
- $|A| = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+a_{i3}A_{i3}+...+a_{in}A_{in} = \sum_{j =1}^n a_{ij}A_{ij}$ ,其中 $1\leq i \leq n$ 按照第i行展开
$|A| = a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+a_{3j}A_{3j}+...+a_{nj}A_{nj} = \sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}$ ,其中 $1\leq j \leq n$ 按照第j列展开
$|A| = a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+a_{i3}A_{j3}+...+a_{in}A_{jn} = \sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk}= \begin{cases}|A|,i = j\\0,i \neq j \end{cases}$
- $= \delta_{ij}|A|$
- 克罗内克符号： $\delta_{ij} = \begin{cases} 1,i = j\\ 0,i \neq j\end{cases}$
行列式的计算
二三阶行列式，可用对角线法则
常见的计算高阶行列式的方法
- 利用初等变换化为三角形
- 降阶
n阶（ $n\geq2$ ）范德蒙行列式
$D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1&...&1 \\ a_1&a_2&...&a_n\\a_1^2&a_2^2&...&a_n^2\\...\\a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&...&a_n^{n-1}\end{vmatrix}$ = $\prod_{1\leq i < j\leq n}$
伴随矩阵和逆矩阵
定义，设n阶矩阵 $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}&...&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{bmatrix}$ ,其中 $n\geq 2$
则称
- 其中 $A_{ij}$ 为A中 $a_{ij}$ 的代数余子式
$AA^* = |A|E$
设A为n阶矩阵， $n\geq2$ , $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则 $AA^* = A^*A = |A|E$
设A为n阶方阵，则 $A$ 可逆等价为 $|A| \neq 0$
若 $n\geq 2$ ，且 $|A|\neq 0$ ,则 $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$
设A为n阶方阵，若存在B使得 $AB = E(BA =E)$ ,则A可逆，且 $A^{-1} = B$

2019-03-20

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