反直觉的实数轴
（这是一篇关于数学的科普文，我保证任何一个具有初中数学知识的人都能看懂，只是可能需要费一点脑筋。）
1.
若要比较一个班上男生女生的人数多少，最直接的办法，当然是数出男女生各自有多少人，然后比较数字即可；但也有一种间接的做法，即把男生女生一 一配对，最后哪方有剩余，就表明哪方的人多了。
这后一种方法看上去挺傻，而且引人遐想。但如果男女生各有无穷多人呢？要知道，人数为无穷多时，已无法数出各自有多少人。那这后一种方法，似乎倒成了唯一可行的方法了。
这正是19世纪的数学家康托尔所考虑的方法，他打算以这种一 一对应的方式比较两个无穷集合的大小。当时没有多少人为这个问题操心，一般的看法是：“既然已经是无穷大了，比较两个无穷的大小还有意义吗？”
但康托尔却坚信这问题是很有意义的，也正是通过他的探索，实数轴的一些惊人的性质展现了出来。
先从最简单的开始：奇数集{1,3,5，……}和偶数集{2,4,6，……}，这两个集合间显然能建立起一 一对应：（1,2），（3,4），（5,6）……所以这两个无穷集合是一样大的。
那么，正整数集{1,2,3,4，……}与偶数集{2,4,6,8，……}呢？从直觉来看，偶数集是正整数集的一个部分，那么偶数集就该比正整数集小。然而，我们这里的直觉来自我们对有限集合的考察，事实上，涉及到无穷集合时，人的直觉是往往会犯错的。
由于正整数集的每个元素乘以2后就是偶数集的相应元素，所以两个集合的元素间存在一 一对应。因此，正整数集和它的子集偶数集是一样大的。
是时候引入一些严格的术语了。集合中元素的个数叫做该集合的势，两个集合一样大意味着它们是等势的集合。正整数集和偶数集有相同的势，这个势记作
ℵ₀，读作“阿列夫零”。
一切势为ℵ₀的集合，叫做“可数集”。为什么称其为“可数”呢？因为对于这样的无穷集合，你可以对其中的每个元素进行编号，标为a1，a2，a3，…an（实际上也就是建立了它和正整数集合的一 一对应）。这个无穷集合里的元素可以这样一个个地数下去，所以该集合被称为可数集。
偶数集是正整数集的一个子集，而两者是等势的。同样的，正整数集是有理数集的一个子集，两者是否是等势的呢？
可以证明结论是成立的。具体过程我就不写了，直接用网上找的一张图来说明思路：
证明一个无穷集合为可数集的关键，在于寻找一种方法来给这集合中的每个元素编号。上图中就是一种编号的方法。
先把所有有理数写成分数的形式。再按分子与分母之和的不同，把这些有理数归到不同的类。比如1/2与2/1，分子与分母之和都为3，所以它们是同一类。1/3,2/2,3/1，分子与分母之和都为4，所以它们是另一类。这样就可以给每个元素编号了:
a1=0
a2=1/1
a31=1/2,a32=2/1
a41=1/3,a42=2/2,a43=3/1
……
因为所有有理数，都可以这样被编号，所以有理数是可数集。
我们知道，有理数在实数轴上是处处稠密的，也就是说，在两个有理数之间，总还存在别的有理数，不管它们靠得多近。（这只需注意到，若a,b为有理数，则(a+b)/2也为有理数，且(a+b)/2在a和b之间。）
但整数并非处处稠密的。直觉上看，处处稠密的有理数应该比看似更加稀疏的整数更多，然而，它们却有相等的势，这是实数轴上，第一个反直觉的结论。
2.
前面论证了，偶数、整数、有理数，它们都是可数集，都有相同的势ℵ₀。那么，有理数作为实数的子集，实数是否也是可数集呢？
康托尔证明了，实数不是可数集。这就是他著名的“对角线证明”。有人说，不知道“对角线证明”相当于没有学过“实变函数”。可见其重要性。还好，这个证明本身并不难理解。
康托尔采用的是反证法（很多巧妙的证明都用的是反证法），他先假设区间（0,1）上的实数是可数的，然后构造了一个矛盾，从而推翻了原假设。具体地讲，康托尔是这么做的：
如果（0,1）上的实数是可数的，那么就存在一种给（0,1）上所有实数编号的方法，比如，在该方法下列出的所有（0,1）上的实数如下：
数1， .34538294305……
数2， .21248392843……
数3， .29483213447……
数4， .57490000000……
数5， .78759237382……
数6， .00000000100……
……
康托尔接下来打算构造一个实数，该实数位于（0,1）区间，却不在上面的队列中。于是就可以推出矛盾了。
怎么构造呢？康托尔先取出第1个数的小数点后第1位，第2个数的小数点后第2位，第3个数的小数点后第3位，……第N个数的小数点后第N位，……然后将取出来的部分相加得到一个新的数：
.314990……
再把这个新的数的小数点后每一位都加1（其实加2，加3都可以，关键是要产生不同），如果某一位是9，加1后就写成0，不用考虑进位。这样产生的最终数X为：
0.425001……
接着，康托尔声称，构造出的最终数X不在上面的数列中。这是因为，X的第1位和数列中第1个数的第1位不同，所以X和第1个数不同；同样的，X的第2位和数列中第2个数的第2位不同，所以X和第2个数不同；一般的，X的第N位和数列中第N个数的第N位不同，所以X和第N个数不同。
于是我们就证明了，X和数列中的任意一个数都不同。但最初的假设中宣称该数列中包含了（0,1）上的所有实数。
X是实数，在（0,1）上，却不包含在该数列中。于是产生矛盾。这说明最早的假设“（0,1）上的实数是可数的”是错的，所以（0,1）上的实数是不可数的。
这结论可以很方便地推广到整个实数域，即，实数是不可数的。
证明过程中，康托尔选取数的轨迹恰如一条斜向下的对角线，所以这个证明方法被称为“对角线证明”。
实数是不可数的，意味着实数的势比有理数的势更大。但具体大多少呢？
我们先考虑一个集合所拥有的子集的个数。
比如集合{0,1}，它拥有空集，{0}，{1}，{0,1} 4 个子集。集合{0,1,2}，它拥有空集，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2} 8 个子集。一般的，若一个集合含有X个元素，则它的子集个数为2^X个。同样的，若一个无穷集合的势为
ℵ₀，则它的所有子集的势为2^ℵ₀。
而下面我们要证明，实数集的势就为2^ℵ₀。
我们先把正整数一个个写出来，写成一行：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12…………
再写出一些（0,1）上的实数的二进制形式：
.0 0 1 1 0 0 0……
.1 0 1 0 1 0 0……
这些二进制实数可以这样理解它的含义，若第N位为1，表明选取了正整数集中的第N个元素；如果为0，则表明没有选取。所以，（0,1）上的二进制实数，它的小数点后的每一位，都对应着正整数集中各个相应元素的取舍。也就是说，它恰好对应正整数集的某个子集，即：
.0 0 1 1 0 0 0…… 对应{3,4}
.1 0 1 0 1 0 0 …… 对应{1,3,5}
于是，正整数的每个子集都可以对应到某个（0,1）上的二进制实数，同时每个（0,1）上的二进制实数都可以对应到正整数的某个子集。于是，建立起了（0,1）上的实数和正整数的子集之间的一一对应。
又因为正整数是可数集，它的势为ℵ₀，而正整数的子集的势为2^ℵ₀。所以（0,1）上的实数的势也为2^ℵ₀。
而（0,1）上的实数又可以和整个实数建立一 一对应（对这个的证明我就不写了），所以整个实数的势也为2^ℵ₀。
那2^ℵ₀比ℵ₀大多少？这个没法直接算，因为ℵ₀是个超穷数。但你可以以一个正整数为例来感受一下，比如2^35比35大多少（2^35=34 359 738 368）。
这就是实数轴第二个反直觉的地方了。我们知道在实数轴的每一个区间内，都包含着无穷多的有理数。好像有理数已经把实数轴填满了。然而，一旦我们把实数轴上的无理数抽走，只留下有理数，这就好像把整个沙漠拿走，只留下一粒沙。
3.
人们对实数的认识还在不断加深。1937年，艾伦·图灵提出了“可计算数”的概念。所谓“可计算数”，是指对于某个数，如果存在某个算法，通过该算法可以计算出这个数的任意位数，我们就称这个数是可计算的。比如圆周率π，它是无理数，也是超越数，但有算法可以计算出它的任意位数，所以它是可计算的。
与“可计算数”对应的，也就是“不可计算数”，对于“不可计算数”，就不存在某种可以将其计算到任意精度的算法。
图灵证明了每个可计算数都与一个“图灵机”相对应，而“图灵机”是可数的，所以可计算数也是可数的。
也就是说，可计算数，尽管包含了所有有理数，无理数中的所有代数数和部分超越数（如π、e），但可计算数的势仍然只是ℵ₀。在实数轴上，可计算数与有理数一样，仍然只是沙漠中的一粒沙。
实数轴，看上去平平无奇，似乎轴上的数字都是我们可以掌控的。但图灵告诉我们，这条轴上的几乎所有数字，都是无法精确计算的。这是实数轴第三个反直觉的地方。
4.
关于实数轴的这些反直觉的事实，究竟是只存在于数学观念中的怪兽，还是现实世界的某种真实写照呢？如果是后者，那么这些事实就似乎带有这样一种意味：我们的世界，表面看来充满了秩序和确定性，但在这秩序和确定性的背后，却是广阔无边的混乱和不确定性。
事实是否如此？只有等科学的发展给出答案了。
