014-形成社会和社会数学的标准
在前面的部分，我们评论了在干预学习中，不能很好地完成学习环境的一个特征，即新的社会和社会数学标准的建立。这是有道理的，学习环境的这一缺陷被认为，在学生的数学相关信念的很大范围内起到了不好的影响。Cobb及其同事，在过去15年的研究集中于指导设计小学低年级学生的实验，其目的是明确能提高学生数学相关信念的社会和社会数学标准。
Cobb研究的理论观点被称作新兴的观点，认为“数学学习既是一个个体积极建构的过程，也是文化适应的过程”。当我们强调个体也强调学习的社会方面时，这一观点与我们的社会建构主义的观点非常接近。
Cobb（2000）所用的方法论是课堂教学实验法，是建构主义教学实验水平的延伸，即研究者本身以教师的身份与学生进行一对一的互动，或者在小组内互动。课堂教学实验设计实验的目的是，把学生的数学学习变成与教师合作的、可选择的学习环境。这样的设计能揭示出“课堂上教师和学生之间的互动这一改革的影响”。
社会和社会数学标准以及它们相互关联影响时的观念
在前面的章节中提到的，社会标准和社会数学标准之间的区别很不明显，可以用一些例子来阐述清楚。
学生解释他们的解决策略和步骤的期望是社会标准，但是能够认识到什么可以看作一个可接受的数学解释，就是一个社会数学的标准。
相类似地，当讨论一个问题时，一个人能找到不同于已经存在的方法是一种社会标准；知道并了解什么构成了数学的差异是社会数学标准（见后面讨论）。更概括地说，社会标准应用于任何学校课程的领域；从某些意义上来说，社会数学标准只限于涉及学生的数学活动与讨论的规范方面的特殊领域。
Cobb提出的下面的解释框架的关键部分，就是社会和社会数学标准，用来分析课堂的微观文化。根据Cobb及其同事的研究，这个框架代表了对这个新兴观点自身的反省。社会学的观点提到互动的和合作的课堂活动；心理学的观点集中于学生的个体行为在课堂合作过程中以及影响合作行为观念：关于自己是一个学习者的观念；关于教师的作用以及他的合作学习者的观念；关于与社会标准相关的数学活动的总的环境的观念；以及与社会数学标准相关的数学观念和价值。如表4.3所示，框架的社会成分还包含了第三个方面，即课堂数学练习，它是指建立于课堂小组的、被认为是合作的数学练习的分享部分。Cobb给出了下面的例子。
在我和我的同事工作的二年级课堂上，在学年开始的时候，学生建立了数学练习中各种各样的解决方法包括查数，一些学生也能形成包括十位和个位的概念产生的解决方案。尽管如此，当他们做题的时候，他们被迫解释和判断对单词和数字的理解。在学年的后期，建立在这样的解释的基础上的解决方案被认为来自课堂。用这样的方式解释单词和数字的活动，已经变成了一种建立好了的数学练习，而不再从判断的需要出发。从学生的观点来看，数字仅仅是由十位和个位组成的——这是一个数学真理。
就像在表4.3专栏中“心理学观点”所展示的，数学的解释、概念、个别学生的活动都被认为是课堂练习的心理上的相关；他们的关系也被认为是相互的。
研究方法
过去试图帮助和支持教师从根本上改变他们的数学教学实践，在小学低年级（一、二、三年级）课堂上开展的很多教学实验都使用了解释框架。这意味着研究者需要参加实验中所有的课程。同时这也意味着参加的教师要成为研究和发展团队的成员。实验持续时间从几个星期到整个学年不等。
通过实验，我们收集了不同种类的数据。两架照相机记录课程的录像资料，一架主要集中在教师身上，有时当个别学生解释原因和问题解决方案时也记录；另一架则在学生参与到数学任务的讨论时作记录。另外的数据来源是复制学生的书面作业、与每天的课程有关的笔记、每天和每周的计划以及研究者和教师的情况汇报会的报告，包括与学生单独访谈的录像。这一方法过去常常用来分析那些数据，与B. G. Glaser和Strauss（1967）应用于人种论研究的不变的比较方法相类似。针对先前的分析衍生的猜测，它包括数据的循环比较：从观看一堂课的录像资料产生的观点，通过猜测和驳斥的过程进行归档和分类，最终结果的可靠度可以通过最早的数据录像来检验。
解释性的结果
参与教与学调查任务的教师们经常进行课堂教学实验。教学的任务和问题，包括教学政策，由教师通过合作和参考来准备和计划。很大程度上根据我们的干预学习来应用教学策略由教师引导整个班级问题的讨论，伴随着整个班级讨论的小组合作，在小组讨论中学生的详细解释争论，对判断他们的策略和解决方案的正确性进行详细阐述。
后面叙述的社会标准发展的说明来自二年级课堂的学习。在学年初，教师很快意识到学生没有达到他的期望，即在整堂课上轻松地解释他们如何处理及解决问题和任务。显然，这一期望与他们在前一学年所获得的观念相违背，在一年级，正确的解决方法和正确答案的唯一来源都是来自教师。为了解决这些相矛盾的期望，教师开始使用一种叫做课堂社会标准的再谈判的程序。其结果是，公开地考虑、讨论与整个课堂讨论相关的、不同的社会标准，这样通过课堂上的互动而实现社会建构。当出现了冲突的理解和解决方法时，就举例解释和调整正确解决方法，试着理解他人的解释，表达是否同意，并且质疑可供选择的解决方法。在讨论过程中，它们对于课堂社会标准的社会建构的作用开始于学生的观念的发展和变化，以及在课堂上以及数学环境中他们的作用，教师和他们的学生的共同作用的观念。因此，这些观念都与课堂社会标准的心理内容相关。
Cobb和他的同事最先通过详细阐述课堂活动的社会观来关注一般的社会标准，在20世纪90年代中期，随着越来越多对渗透了课堂讨论的具体领域标准的关注，这一标准逐渐被完善。也就是说，教学课堂上的活动和互动的标准是具体的。这样的社会数学标准的范例设计说明什么是不同的数学解决方法；什么是一种复杂的解决方法；什么是一种具有洞察力的方法；什么是一种简练的方法；什么是一种有效率的方法以及什么是一种可以接受的方法。
数学的不同标准和它的重要性第一次得到课堂上的需要导向的确认。在课堂上，教师通常要求学生对一项任务提出不同的解决方案，并且拒绝一些非数学差别的互动。这是很明显的，学生不能回答数学上的差别是什么，但是在互动过程中，随着他们的建议有些被采纳，有一些被拒绝，学生就能明白什么是数学上的差别。教师要求学生提出不同的问题解决方案，学生在与教师的互动中懂得了什么是数学差异的含义，并且在课堂上建构和定义数学差异标准。这表明，作为社会标准的特例，社会数学标准的产生和建构也源于学生和老师之间的互动。
下面的章节中，二年级的一堂课显示了一位教师是如何开始数学差异解决方案的互动发展的。
将算式16+14+8=____当作一种心算活动提问。
Lemont：我从16和14中各拿出一个10，加起来就是20，加上6加上4等于另一个10，就是30加上剩下的8，就是38。
教师：对。哪个同学有不同的做法吗？
Ella：16加上14等于30，再加上8就是38。
教师：好的。Jose？有什么不同的做法？
Jose：我从16和14中各拿出一个10，加起来就是20，加上6加上4就是30，然后加上8就是38。
教师：好的。这和……的做法很接近。（看其他同学）有不同的吗？好的。
这里，教师对Jose的回答说明他已经明了不同方法的含义，虽然如此，因为他没有对学生详细说明Jose的解决方案为什么与其他同学已有的答案相接近，学生们继续他们各自的解释。下面的两个学生的解决方案更有创意，而且没有被老师质疑。
Rodney：我从16中拿出1，放到14上，这样15+15就是30，再加上8就是38。
教师：太好了！38。对。还有不同的做法吗？
Tonya：我用8加上4得12，再加10得22，加上另外一个10，得32，最终得38。
教师：好！Dennis，有不同的方法吗？Dennis？
通过这样的互动，通过学生们观察到教师接受他们用不同的方法分解和再组合数字的解决方法，而拒绝回应或多或少重复已有的方案，逐步地理解了数学提高发展水平的不同方法的含义。这一章节很清楚地显示出，数学活动的标准如何开始以及在课堂讲述中如何展开。与那些数学标准的建立紧密相关的是：学生与教学相关信念和使得他们在做数学题时逐步变得更加具有自我调节的品质。
最初关于社会数学标准的研究采用摘录以前研究的片段的方式，通过事后分析，描绘出数学活动中合乎标准的方面是如何出现的。在最近的一项课堂教学实验中，在教师和研究小组的合作中，为了积极主动地促进特定的社会数学标准的建立，应用了更多易于理解的方案，这样能同时提升学生与数学相关的信念。另外，这一研究通过课堂讲述，集中追踪到从一个社会数学标准出现到另一个社会数学标准出现的过程。
根据一个学年前4个月的课程录像数据，McClain和Cobb的研究显示，一年级的教师应该怎样来唤起和维持学生在课堂水平上的社会数学标准的发展，及学生个体与数学相关信念的发展，这与当前改革中倡导的数学倾向一致。儿童们的一个任务就是让他们指出，面前的投影仪上有多少个回形针，比如说有5个或者7个。这样做的目的是引起学生对任务的推理，并且让学生能从开始用查数来找到答案，发展到在给回形针分组基础上运用更复杂的策略。结果表明，在课堂上数学的差异标准是如何通过对任务的讨论和互动形成的，但是这种差异标准后来逐渐发展成复杂方案标准的再协商。事实上，将回形针分组的解决方案不仅是不同的，而且比查数更加复杂。同样地，从数学不同方法的标准显示出查数的方法是一种容易、简单而有效解决问题的方式：一些被接受的不同的解决方案也是容易而有效的，但是其他的解决方案不是这样。采用以前的研究中同样的方式，学生关于数学和数学学习的个人观念会随着社会数学标准的出现而相应地受影响，这归功于他们数学倾向的获得。
小结
Cobb及其同事与教师合作,作为组织课堂教学实验首要的研究策略，并且使用这里讨论的详细的框架对课程录像(课堂笔记和面谈数据进行补充）进行有价值的分析，他们的研究表明，在小学低年级课堂上社会和社会数学标准通过教师和学生之间的互动如何出现、逐步形成及深入发展的过程，以及为了给学生和教师提供学习机会，这些标准又是如何调节后续的课堂内容。除了这个理论导向，这一研究还有一个主要的实用的目标，即在与教师密切合作的过程中，根据目前改革的要求，理解和设计课堂学习环境。
根据Cobb的论述,概括的方法论是最重要的，但是传统观念却忽略了特殊案例的具体特点，像命题总结的那样：“相反，在明确解释另一个案例会对这个案例产生相关之后，理论分析形成了。这样，概括的具体内容是一种保留个案具体特点的解释方式。”
Cobb（2000）承认，在课堂水平上的关注问题和消除争议的课堂教学实验不是适合所有研究问题的万能之计。因为研究的焦点是整个教室的学习者，所以这类实验不太适合调查和描述个别学生的数学学习和思维发展。同样的原因，课堂教学实验也不适合应用于与其相关的、更广阔的学校和社会的环境中，后者更多采用不同的方法，比如人种论的方法。
考虑到Cobb（2000）提出的第一个局限及可利用的研究，事实上这项工作在框架解释的心理前景上似乎缺少操作性。针对新的社会和社会数学标准的建立相关的看法，大部分研究者认为，与学生个体发展相关的数学观念应该嵌入课堂教学中。尽管如此，在实验报告中，那些观念并不完全具有操作性和评价，性虽然也许并不难做到。
正如关于以前的干预学习的评述中提到的，课堂教学实验的第二个局限涉及与数学教育未来的改革一致的实践的争议。两个干预项目仍然以不同的方式支持这样的观点，即创立和提供能使学生更易于获得重要能力的主要成分和学习过程是可能的。如本章开篇描述的那样。
在另外的项目中，以相似的规则为基础，已经设计出创新的教学干预了。我们在这里只举两个众所周知的例子，它们普遍出现在大西洋两岸，在被称作Jasper的项目中，小学高年级数学题解决的学习基于含义和质疑的环境。虽然就高年级水平和数学焦点来说，这个项目看起来像我们的干预研究，但是在几个方面有很大不同：
第一，数学问题解决的集中传授已经被研究得很细致了，且这项研究进行了很长一段时间；
第二，它包含了一个强有力的技术成分，使用多媒体技术来展现问题；
第三，已经在更大范围内针对集中教学的实施进行了努力。
前面提到过的第二个例子是现实的数学教育（RME），20世纪70年代由Freudenthal创立，在荷兰发展。构成数学教学发展基础的，是Freudenthal的教导现象学，它反对学生先获得正式的数学系统的传统观念。根据Freudenthal的观点，这与数学积聚及发展的方式相反，也就是说，在真实世界里从现象的学习开始。我们请读者参考Treffers(1987)，Streefland（1991）和Gravemeijer（1994）关于RME的基本概念的更详细的论述，以及设计实验的例子，这些观念已经成功地在学校基础课程中实施和被多方验证。在这里提及一件有趣的事，在以RME为基础的、100以内心算的、为期一年的干预研究中，Menne（2001）发现，不仅二年级学生在学期末比学期初达到了一个或更多的精通水平，而且学习困难的学生，即主要是那些没有荷兰语基础的学生，也明显进步了。
