初探数学思维（五）：数学分支介绍：分析学

1. 分析学发展至今，包括许多分支，其中微积分是最古老、最基础的核心内容。微积分的研究对象是函数，采用的主要研究工具是极限。

• 狭义分析学：数学分析（微积分）。
• 广义分析学：常微分方程、偏微分方程、复变函数论、实变函数论、变分法、泛函分析等。

2. 以研究函数为核心的分析学，成为数学的三大基本分支之一，形成几何、代数、分析三足鼎立的局面。

3. 微积分学主要研究函数微分与积分的性质与应用。

4. 无穷小量的实质---在某个变化过程中以零为极限的变量。

分析学的分支

1. 常微分方程

• 包含未知函数和它的导数的等式称为常微分方程。
• 常微分方程可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律。
• 常微分方程的主要内容：方程解的存在唯一问题、常微分方程的初等解法、边值问题，幂级数解法等。

2. 偏微分方程

• 偏微分方程是由微积分对弦的振动等力学问题的应用引出的，包含未知函数（未知函数和几个变量有关）偏导数的等式称为偏微分方程。
• 偏微分方程理论研究一个方程（组）是否存在满足某些条件的解，有多少个解，解的各种性质与求解方法及其应用。

3. 复变函数论

• 以复数作为自变量的函数叫做复变函数，与之相关的理论就是复变函数论。
• 解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数（即区域上处处可微分的复函数），复变函数论主要研究复数域上的解析函数。

4. 实变函数论

• 实变函数是自变量（也包括多变量）取实数值的函数，而实变函数论就是研究一般实变函数的理论。
• 实变函数论是微积分学的发展和深入。

5. 变分法

• 变分法是研究泛函（从函数空间到数域的映射）的极值方法。

6. 泛函分析

• 泛函分析是20世纪30年代形成的分析学分支，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数、算子和极限理论。
• 泛函分析可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。