换个姿势学数学：一次函数的性质

2019-02-08 本文已影响214人 d61f25068828

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之前我们谈到了一些初等函数的基本性质，之后我们会分析一下常见的几个初等函数，算是真刀真枪的干干。

我们第一个要讨论的函数叫做“一次函数”，之前其实已经出场过很多次了，就是一条斜线。

一次函数到底是什么意思？

谈“一次函数”还要从“代数学”的基础谈起。

代数是个啥?

不知道大家有没有想过,“代数学”,其中的“代数”是什么意思呢?

其实这个很简单就是“代替数的东西”,这就是我们所说的“未知数”,一般用英文字母来表示.

含有代数的式子就被称为“代数式”。[1]

其中“代数”的数量,我们叫做“次”,所以“一次函数”的意思就是,只有一个“代数”的函数。

比如， $xyz$ 就是三次，xx或者说 $x^2$ 就是二次，自然 $x$ 就是一次，常数可以看成是 $x^0$ ，也就是零次。

就是这么简单。

一次函数的通用形式

既然只有一个“代数”,那么一次函数都可以化简为以下形式 y=kx+b(k≠0)。

为什么要强调x≠0？

因为0是个讨厌的家伙,0与任何数的乘积都是0,如果代数的系数是0，代数事实上将不复存在,所以也就没有什么“一次函数”了。

当k等于0时，函数叫做“常值函数”,因为它的参数根本无法影响输出值,和没有也没什么太大区别了。

所以,从图上来看就是一条与Y轴垂直的直线,无论x的值怎么变y都纹丝不动。

常值函数图像

我的定义之所以没有加上k≠0,就是因为我是用代数的数目定义的,和0在一起的代数就被消除了,所以也就没有代数。

从通用形式分析一次函数的性质

斜率

在上一篇文章中，我们提到,对于“斜率”来说,常数项是完全起不到任何作用,因为斜率是一种“变化速度”,b是一个早就存在的不变的东西。

那么b和斜率(变化速度)自然无关,只有k和斜率有关，所以k就是一次函数的斜率。

截距

$b$ 就是,单纯在输出值上增加了一些东西,从图像上来看就是把一次函数的直线,沿着y轴上下移动。

把y轴截成两半.所以这个 $b$ 也叫做y轴的截距。

从图像上来理解会更直观,截断y轴的点，自然在y轴上,这些点的 $x=0$ ，那么剩下的东西不就是 $b$ 吗?

➣为什么斜率和Y轴截距,分别使用 $k$ 和 $b$ 这两个字母来代指呢?

没有任何道理，只是习惯用法。这是从苏联借鉴过来的，在美国斜率一般用字母m表示。

关于截距为什么用 $b$ ，我没有查到更多的信息，可能也只是一个习惯用法而已吧。

横截距

那么,为什么不研究其和x轴的截距呢？

其实是研究的。

与x轴的截距被叫做“横截距”,就是“方程的根”。

具体到后面“函数与方程”中还会介绍。

在不特别指明的情况下,“截距”特指“Y轴截距”。

增减性

当 $k>0$ 时为增函数, $k<0$ 时为减函数,这个是显而易见的。

对称性

当 $b=0$ 的时候,形式为 $y=kx$ ,函数图像穿过中点,此时 $k=y/x$ ,所以叫做“正比例函数”。

正比例函数

“正比例”是什么意思呢?

正比例是一种变化关系。

如果 $x1/y1=x2/y2$ 那么,这四个数就是成比例,也记作 $x1：y1=x2：y2$ 。

为什么要多加一个“正”字？

因为还有一种比例叫做“反比例”。

也就是 $x1/y1=y2/x2$ ,所以,为了区分开，前者就叫做“正比例”。

之前我们在介绍“奇偶性”的时候,曾经画过“反比例函数图像”,这种函数的图像和正比例函数的图像,都是基于原点对称的。

很显然,只有正比例时(b=0)一次函数才具有原点对称的性质。

摘自教辅的一次函数的图像和性质

注释

[1] 当然，不含有代数，仅仅还有数字的，也可以被叫做“代数式”，这就有点抽象了。因为常数项可以看成是 $aX^0$ 。

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作者信息

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