高中数学纲目

函数与导数大题：2018年理数全国卷B题21

2022-05-20 本文已影响0人易水樵

2018年理数全国卷B题21

已知函数 $f(x) = e^x - a x^2$ .

（1）若 $a=1$ ，证明：当 $x \geqslant 0$ 时， $f(x) \geqslant 1$ ；

（2）若 $f(x)$ 在 $(0, + \infty)$ 只有一个零点，求 $a.$

【解答问题1】

若 $a=1$ ，则 $f(x)=e^x-x^2$

定义域为 $(-\infty,+\infty)$ .

$f'(x)=e^x-2x$

$f''(x) = e^x -2$

令 $g(x)=e^x-ex$ , 则 $g'(x)=e^x-e$ .

$g'(1)=0$

$x \in (0,1), g'(x) \lt 0$ , 函数 $g(x)$ 单调递减；

$x \in (1,+\infty), g'(x) \gt 0$ , 函数 $g(x)$ 单调递增；

∴ $x \in (0,+\infty), g(x) \geqslant 0, e^x \geqslant ex$ ;

∴ $x \in (0,+\infty), f'(x) \gt 0$ , 函数 $f(x)$ 单调递增;

又∵ $f(0)=1$

∴ 当 $x \geqslant 0$ 时， $f(x) \geqslant 1$ . 证明完毕.

【解答问题2】

根据前节结论可知，当 $x \geqslant 0$ 时， $e^x-x^2 \geqslant 1$

若 $a \leqslant 1$ , $f(x) \geqslant e^x -x^2$ ，函数没有零点；

所以，以下仅讨论 $a \gt 1$ 的情况.

当 $x \gt 9, e^{\frac{x}{3}} \gt x$ ;

令 $x_9 = max \lbrace {\ln(3a), 9} \rbrace$

当 $x \gt x_9, e^x \gt ax^2$ , $f(x)\gt 0$ .

因为函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续， $f(0)\gt 0$ ,

假设存在一点 $x_7$ , 使得 $f(x_7)\lt 0$ , 则根据函数的零点定理可推出：在区间 $(0,x_7)$ 和区间 $(x_7,x_9)$ 内，函数 $f(x)$ 各有一个零点；

所以，若 $f(x)$ 在 $(0, + \infty)$ 只有一个零点，则在 $[0,+\infty)$ 区间的最小值为 $0$ .

$f'(x)=e^x-2ax$

根据前节关于 $g(x)$ 的讨论可知，若 $2a=e$ , 则 $f'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 有一个零点；若 $2a \gt e$ , 则 $f'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 有两个零点，可将其记作 $x_1,x_2$ . 则

$x \in (0,x_1), f'(x) \gt 0$ , 函数 $f(x)$ 单调递增；

$x \in (x_1,x_2), f'(x) \lt 0$ , 函数 $f(x)$ 单调递减；

$x \in (x_2,+\infty), f'(x) \gt 0$ , 函数 $f(x)$ 单调递增；

所以，

$f(x_2)=e^{x_2} - a x^2_2=0$

$f'(x_2)=e^{x_2}-2ax_2=0$

解得：

$x_2=2$

$a=\dfrac{e^2}{4}$

【提炼与提高】

这是2018年的压轴题，综合考查了高中数学中一些较为高端的知识：

函数零点定理
用导函数判断函数的单调性
最值与极值的关系
指数函数的性质
数形结合的思想和方法

需要强调的是，本题解答过程中用到了这个函数： $g(x)=e^x-ex$

这个函数对于众多考题的解决都是有帮助的，要特别留意。

【回归课本】

函数零点存在定理是高中一年级的教学内容，课本上配有习题，请参考下文：

从课本到高考的高中数学笔记：函数零点存在定理

【相关考题】

零点问题是高考数学中常用的考点，请参考以下真题：

函数零点问题：2021年新高考数学X题22

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