李雅普诺夫函数与均衡框架

【书籍/课程名称】李雅普诺夫函数与均衡

【类型】书籍目录框架/课程框架

【关键词】

* 李雅普诺夫函数，均衡，逐底竞争博弈，自组织活动模型，纯交换经济，负外部性，模型提供可能性，无法成功也可以提供知识。

【摘要】

* 李雅普诺夫函数是在按时间索引的配置系统上定义的实值函数，它给出了模型能够实现均衡的条件。

* 在每个时间步骤中，李雅普诺夫函数都要给配置分配一个值。如果配置发生了变化，也就是说，如果模型不处于均衡状态，那么李雅普诺夫函数的值就会减小一个固定量。李雅普诺夫函数也具有最小值，这意味着到了某个时间点上，它的值最终必定会停止递减。当发生这种情况时，模型就达到均衡了。

* 核心结论是，如果能够为模型构建一个李雅普诺夫函数，那么模型必定会达到均衡。在这种情况下，我们不可能得出周期性、随机性或复杂性。

* 李雅普诺夫函数不仅可以帮助我们证明一个系统或模型能不能达到均衡，还可以告诉我们达到均衡的速度有多快，我们可以确定模型收敛到均衡所需的时间。

【一、李雅普诺夫函数】

* 【概念】

*

* 一个离散动态系统（discrete dynamical system）由可能的配置空间，以及一个转移规则（transition rule）组成。我们可以把配置空间视为世界的多维状态，例如生命游戏中的活元胞和死元胞的初始集合，而转移规则则是将时间t时的配置映射到时间t+1时的配置上。

* 一个李雅普诺夫函数是从配置到实数的一个映射，它满足两个假设：

    * 第一，如果转移函数不处于均衡状态，则李雅普诺夫函数的值就会减少某个固定的数量；

    * 第二，李雅普诺夫函数具有最小值。如果这两个假设成立，那么该动态系统必定达到均衡。

* 【逐底竞争博弈】

* 有N个博弈参与者，每个博弈参与者在每个时期都要提出一个支持水平，其取值范围为{0，1，…，100}。提出了最接近平均支持水平2/3的博弈参与者可以获得那个期间的奖励。

* 假设我们允许博弈参与者在0至100的区间内选择任何实数值，而不是整数值。再假设在每一轮中，博弈参与者选择的支持水平等于上一轮平均水平的2/3，那么平均支持水平将会随着时间的推移而逐渐降低，但是永远不会达到零的均衡。正如色诺悖论（Xeno's paradox）一样，这个过程会越来越接近于零，但是却永远不会达到零。为了确保均衡的实现，还必须假设一个最小减量（A）。

* 【局部多数模型】

* 令局部多数模型中的李雅普诺夫函数为总体中的总不一致性（total disagreement），即与相反状态的元胞相邻的所有元胞数量的总和。

* 如果一个元胞改变了自己的状态，所有相邻元胞的总不一致性至少下降了4。

* 即使某些元胞可能带来更多的不一致性，总不一致性也满足李雅普诺夫函数的条件。因此，局部多数模型必定会收敛到均衡。

* 我们可以确定收敛的速度：无论什么时候一个元胞改变自身的状态，总不一致性至少会下降4。由此可知，一个总一致性为100的配置，必定会在25个时期内达到均衡。换句话说，一个总一致性为D的配置，必定会在D/4个时期内达到均衡。

【二、自组织活动模型】

* 【概念】

* 一个城市里，有A种活动可以参加，每一天都由L个时间段组成。在人口规模为M的城市中，每个人都要选定一个日程安排。在这里，日程安排是指这个人在L个时间段内分配L种活动（从一个更大的K种可能性的集合中）。一个人要面对的拥挤水平则设定为等于同时选择同一种活动的其他人的数量。

* 这个模型中由一群人和每个人可以选择去做的活动的集合组成。这个模型的关键假设是，每个人都更偏好不那么拥挤的活动。

* 总拥挤度（total congestion），整个人群拥挤水平的总和，满足李雅普诺夫函数的条件。一般来说，我们无法保证系统能够找到一个有效率的均衡，但是这种自组织活动模型几乎总能收敛到总拥挤度近乎最小的配置。

* 【应用】

* 这个模型可以解释当今世界的很多秩序，它可以让我们更加深刻地理解城市如何在没有中央计划者的情况下通过自组织实现近乎完全有效的配置。尽管城市内有如此多样性的行动者——游客、店主、居民和送货人等，而且他们对整个城市的信息所知有限，但这种秩序也会涌现出来。

* 模型还告诉我们，为什么许多游乐园，比如迪士尼，却做不到这一点。迪斯尼每天都有新的入园参观者，他们没有时间去尝试新的路线。如果没有“中央计划者”的帮助，迪斯尼将会出现某些景点大排长龙，同时其他景点门可罗雀的情况。

【三、纯交换经济】

* 纯交换经济由一个消费者集合组成，每个消费者都有自己的商品禀赋和偏好。对此，我们可以设想，一群人在市场或集市上与他人交易一些东西，每笔交易都需要双方付出一定的时间和精力。为了让双方有动力完成交易，每一方都必须有所获益，得到超过此交易成本的某个金额。

* 我们可证明，总幸福感（total happiness）总是按固定数量增加并具有最大值。李雅普诺夫函数的假设得到了满足，系统可以达到均衡。

* 其他人对交易所感受到的影响被称为负外部性（negative externality）。当市场上的交易包含了负外部性时，交易就不一定能提高总幸福感了。

* 李雅普诺夫函数在交易环境中是否存在，取决于负外部性的大小。纯交换市场适用于“椅子”，但是却不适用于“办公桌”。

【四、认知突破】

* 有的时候，我们尝试为模型构造李雅普诺夫函数，但却无法取得成功，但我们仍然可以积累知识。我们至少能够了解模型为什么不会产生均衡。

* 我们无法构建李雅普诺夫函数，并不意味着模型或系统肯定不能达到均衡。一些系统在所有已知情况下都能够达到均衡，但是没有人能够构造出李雅普诺夫函数。

* 模型所能提供的，只是证明结果的可能性。我们无法保证肯定可以推导出它们，很多时候，我们提出了一个模型之后，最终却发现要证明结果非常困难（如果不是不可能的话）。

* 回顾一下模型的7大用途——推理、解释、设计、沟通、行动、预测和探索，我们会发现李雅普诺夫函数在每个用途上都有所帮助。利用李雅普诺夫函数，我们可以推断出系统走向均衡的原因，还可以解释系统收敛到均衡的速度、设计信息系统（例如迪斯尼世界所采取的分时段游览的预约系统）、采取行动（例如对办公桌进行交易是不可取的）、沟通系统如何达到均衡的途径、预测系统达到平衡的时间以及进行探索。我们可以尝试提出假设和构建模型来解释一些令人惊讶的现象，例如自组织的城市。