Double Pendulum Problem

Preface

小幽表示三体问题被同学玩坏后（才知道三体运动轨迹是如此的美妙-_-||），只能从为数不多剩下很多的几个问题中选了，好吧，就是这个了——《双摆问题》，别看只有两个摆，可毕竟也是混沌运动啊，跟三体一样炫酷哟！

Physics Model

A simplified model of the double pendulum is shown in Figure. We assume that the rods are massless. Their lengths are l1 and l2. The point masses (they are represented by the balls of finite radius) are m1 and m2. All pivots are assumed to be frictionless.

Lagrange Equations

问题很简单，但是我们用简单的牛顿力学那套动力学方法来解这个问题的话就显得相当的复杂，毕竟理论力学也不是白学的，（我勒个去，理论力学和计算物理都是他教），现在就看我分分钟搞定。

The coordinates

这里我们直接附上化简后的结果

这个是哈密顿方程得到的结果 这个是拉格朗日方程得到的结果

下面是两张模拟双摆运动的轨迹截图

很明显的可以看出，双摆系统是一个混沌系统，其对初始值非常敏感，一个微小的变化也会引起后面巨大的差别。

Simulation

为了能让这些图表数据有更加直观强大感受的话，最好能把其运动模拟出来。于是又用Javascript重写一遍给大家体验。

杆长相等，小球质量相同，两个初始角度均为90度的情况：

杆长不等，小球质量不同，两个初始角度不同的情况：

效果还是挺不错的，链接在这里。

Last

本文里面所有的源代码，图片及演示均可在这里下载。

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References

[0]. Double Pendulum Physics Simulation
[1]. Double Pendulum