同等学力组合数学经典题目
1.有200本相同的书，欲摆放在四个不同的书柜里，使得每个书柜摆放的书的数目只可能是20,40,60,80,100本，问有多少种摆放的方法？
答：总共有7中方案，每种方案方法数如下：
方案1： 20 20 60 100
先选定2个存放20的，剩下的2个不同的数做排列
C(4,2)* P(2,2) = 12
方案2： 20 40 60 80
做全排
P(4,4) = 24
方案3： 20 40 40 100
先选定2个存放40的，剩下的20个不同的数做排列
C(4,2) *P(2,2) = 12
方案4： 20 60 60 60
先选定3个存放60的，剩下的自然存放20
C(4,3) = 4
方案5： 20 80 80 20
先选定2个存放20的，剩下的两个自然存放80
C(4,2) = 6
方案6： 40 40 40 80
先选定3个存放40的，剩下的自然存放80
C(4,3) = 4
方案7： 40 40 60 60
先选定2个存放60的，剩下的两个自然存放40
C(4,2) = 6
总数 = 12 + 24 + 12 + 4 + 6 + 4 + 6 = 68种
2.已知 A 是由 54 的所有因子组成的集合， 设%为 A 上的整
除关系，
（1） 画出偏序集<A,%>的哈斯图。
（2） 确定 A 中最长链的长度， 并按字典序写出 A 中所有最长的链。
（3） A 中元素至少可以划分成多少个互不相交的反链， 并完整写出
这些反链
答： A 的集合 = {1,2,3,6,9,18,27,54}
1）COVER(|)={(1,2),(1,3),(2,6),(3,6),(3,9),(6,18),(9,18),(9,27),(18,54),(27,54)}
2)有4个包含元素最多的全序子集: 最长链长为5
L1={54,27,9,3,1}
L1={54,18,9,3,1}
L1={54,18,6,3,1}
L1={54,18,6,2,1}
3)至少可以划分成3个互不相交的反链： {2,3},{6,9},{18,27}
3． 求方程 t1+t2+t3+t4=20 整数解的个数， 其中 t1≥3,t2≥1,t3≥0,t4≥5。
答：
由于t1≥3,t2≥1,t3≥0,t4≥5.先取t1为3，t2为1，t3为0，t4为5，此时取值后和为9，也就是说将20-9的差值分配给t1，t2,t3,t4 就是所有的整数解个数
此时：t1'+t2'+t3'+t4' = 11
因此有C(11+4-1,11) = C(14,11)。
4 设 S={∞·2,∞·4,∞·5,∞·7,∞·9}是给定的重集， 其中 2,4,5,7,9
是 S 中的五个不同元素， 且每个元素在集合中可以有无穷多。 设 hn
表示从 S 中取 n 个元素（可以重复取） 且要求 2 和 4 出现偶数次的
排列数， 求 hn
解：已知2,4两个元素只出现偶数次，5,7,9三个元素出现任意次数，根据重拍母函数等式有：
设G(x) = (1 + x^2/2! + x^4/4! + .... + x^n/n!)^2 * (1 + x + x^2/2! + x^3/3! +...+x^n/n!)^3
= (e^x + e^(-x))/2 * e^3x
= 1/4(e^x + 2* e^3x + e^5x)
= 1/4 (∑ x^n/n! + 2* ∑ (3x)^n/n! + ∑ (5x)^n/n!)
= 1/4 ∑(1 + 2 * 3^n + 5^n) x^n/n!
Hn = 1/4（1 + 2 * 3^n + 5^n)
5. 4名同学参同时参加英语和德语面试，要求每门科目只能面试1人，2门科目先后顺序不同，有多少种次序？
解：本题可以理解为4名学生以任意顺序去参加英语面试，于此同时不能在同一时刻去参加德语面试，
即原来某位的同学不能在同一位置上（错排问题）。
因此该题的解为 4！D_{4} = 4！*4！*(1-1/1!+ 2/2!-3/3!+4/4!) = 24*9 = 216。
6. 一个饭店有3种甜点，而且无限多。小王选取四个甜点的方法有？
解： t1+t2+t3=4
C(3+4-1,4) = C(6,4) = 15种
7. （2x1 -3x2 +x3)^6 展开式中，求X1^3*X2*X3^2的系数。
解：
（2x1 -3x2 +x3)^6 = (2x1 -3x2 +x3)*(2x1 -3x2 +x3)*(2x1 -3x2 +x3)*(2x1 -3x2 +x3)*(2x1 -3x2 +x3)*(2x1 -3x2 +x3)
展开式相当于是6项多项式乘积。每一项都是看成加法原理是或的关系。
由于x1是3次幂，因此6项多项式中有3项选择2x1，因此有C(6,3)*2^3
由于x2是1次幂，因此从剩下的3项多项式中取一项选择-3x2,因此有C(3,1)*(-3)
由于x3是2次幂，因此从剩下的2项多项式中都选x3即可，因此有C(2,2)
所以X1^3*X2*X3^2的系数 = C(6,3)*2^3 * C(3,1)*(-3) * C(2,2) = -1440
解法2：
6项多项式，由于x1 + x2 + x3的幂之和是6，因此可以理解为从3个x1，一个x2和2个x3 组成的有限全排。
6!/(3! * 2! * 1!) * 2^3 * (-3) * 1^2 = -1440
8、 如果1/(1-2x)^2 = ∑ak*x^k 则ak =
解：
根据泰勒公式
f(x) = f(0) + f1(0)/1! *x + f2(0)/2!*x^2 + ....
第二项展开式: f1(0) = (-2)(1-2x)^(-3)*(-2) = (-2)*(-2) f1(0)/1! = (-1)^1 *(1+1)*(-2)^1
第三项展开式： f2(0) = (-2)(-3)(1-2x)^(-4)*(-2)^2 = (-2)(-3)*(-2)^2 f2(0)/2! = (-1)^2 *(2+1) * (-2)^2
因此第k项展开为：fk(0)/k! = (-1)^k * (k+1) * (-2)^k
方法二：
由于公式(1-x)^(-n) = ∑ C(n+k-1,k)*x^k
代入n=2 x = 2x得到系数： C(K+1,K)*2^K
9. 把4个不同的球，放到3个相异的盒子里，使得不出现空盒，有多少种不同的放法？
解：
先取2个球 C(4,2),再将剩下的球全排。于是答案为C(4,2)*P(3,3) = 36
10. 5个文科生和5个理科生交叉排成一排有多少中排法？
解：
先排列5个文科生，有5！种，再将理科生插到文科生的间隙中，于是有5!种插入排列， 由于两头的位置可以在左边也可以在右边
所以总共有2 * 5！ * 5！ 种排列。
11 求方程x1+x2+x3+x4=10 正整数解的个数
解：
由于求正整数解，那要求x1>0,x2>0,x3>0,x4>0
由此原式可以理解为: (x1+1)+(x2+1)+(x3+1)+(x4+1) = 6
于是正整数解的个数为 C(6+4-1,6) = C(9,3) = 84
12. 求将函数f(x)=(1+x+x^2+x^3+...)^2 * (x^2+x^3+x^4+...)^3 展开后x^14系数
解：
此种情况可以理解为有5种不同颜色的球（如黑，白，红，绿，蓝）每种球无限制。现在要求取出14个球，其中至少有2个红球，2个蓝球和2个绿球。
则可以先分配2个红球，2个篮球，2个绿球，14个球中剩下的8个球，从5种颜色的球中取。
设取白球x1个，黑球x2个，绿球x3个，红球x4个，蓝球x5个。 则取法有：
x1+x2+x3+x4+x5 = 8
则有C(8+5-1,8) = C(12,4) = 495
13. 有2个红球，1个白球，1个黄球，试求有多少种不同的组合方案？
解：1）母函数法：
f(x) =（1+x+x^2）(1+x)(1+x) = 1+3x+4x^2+3x^3 + x^4
所以有组合数 = 1+3+4+3+1 = 12种
2）分情况讨论：
红：0,1,2
白：0,1
黄：0,1
一个不选方法：0,0,0
选1个球的组合： （0,0,1）（0,1,0），（1,0,0）
选2个球的组合：（0,1,1）（1,0,1），（1,1,0）（2,0,0）
选3个球的组合： （1,1,1）（2,1,0），（2,0,1）
选4个球的组合： （2,1,1）
总共组合方案 = 1+3+4+3+1=12
14. 把4个相异的球，放到3个相异的盒子中，使得不出现空盒，有多少中不同的放法？
解： 分两步完成，第一步先把4个相异的球分成三组，即选2个作为一组。 有C(4,2)种方法。
第二步，把分成3组的球放进3个不同的盒子，做全排， 有P(3,3)中方法。
因此方法数为： C(4,2) * P(3,3) = 6 * 6 = 36 (种）
15.求方程x+y+z+k = 10正整数解的个数
解： (x+1) + (y+1) + (z+1) + (k+1) = 6
C(6+4-1,6) = C(9,6) = C(9,3)
