数学分析理论基础3：函数概念

2018-12-11 本文已影响16人溺于恐

函数概念

定义：

给定两个实数集D和M(常用R代替),若有对应法则f,使对D内每一个数x,都有唯一的一个数 $y\in M$ 与它对应,则称f是定义在数集D上的函数

记作 $f:D\to M,(按法则f建立数集D到M的函数关系)$
$\qquad x\mapsto y.(两个数集中元素之间的对应关系)$

称x为自变量,y为因变量

数集D称为函数f的定义域,x所对应的数y称为f在点x的函数值,常记为f(x),

全体函数值的集合 $f(D)=\{y|y=f(x),x\in D\}(\subset M)$ 称为函数f的值域

说明：

1.定义域D和对应法则f为确定函数的两个主要因素,常用 $y=f(x),x\in D$ 表示一个函数

两个函数相同即它们有相同的定义域和对应法则

2.存在域：解析法(公式法)表示函数,函数的定义域常取运算式子有意义的自变量值的全体,称为存在域

此时函数的定义域D可省略不写,只用对应法则f表示函数,称"函数y=f(x)"或"函数f"

3.函数f给出了x轴上的点集D到y轴上点集M之间的单值对应,也称为映射

对于 $a\in D$ ,f(a)称为映射f下a的象,a称为f(a)的原象

4.每一个 $x\in D$ ,只能有唯一的一个y值与它对应,这样定义的函数称为单值函数

若同一个x值可以对应多于一个y值,则称函数为多值函数

表示法

三种表示法：解析法(公式法)、列表法、图像法

分段函数：在其定义域的不同部分用不同的公式表达

例：符号函数

$y=sgnx=\begin{cases}1\quad x\gt 0\\ 0\quad x=0\\ -1\quad x\lt 0\end{cases}$

例：f(x)=|x|

$f(x)=\begin{cases}x\qquad x\ge 0\\-x\qquad x\lt 0\end{cases}=xsgnx$

图像法表示函数的依据：

函数 $y=f(x),x\in D$ 用有序数对的集合 $G=\{(x,y)|y=f(x),x\in D\}$ 表示

在坐标平面上集合G的每一个元素(x,y)表示平面上的一个点,集合G在坐标平面上描绘出这个函数的图像

某些只能用语言描述的函数：

Dirichlet函数：

$D(x)=\begin{cases}1\qquad x\in Q\\0\qquad x\in Q^C\end{cases}$

Riemann函数：

$R(x)=\begin{cases}{1\over q}\qquad x={p\over q}(p,q\in N_+,{p\over q}为既约真分数)\\0\qquad x=0,1和(0,1)内的无理数\end{cases}$

函数的四则运算

给定两个函数 $f,x\in D_1$ 和 $g,x\in D_2$ ,记 $D=D_1\cap D_2$ ,并设 $D\neq \varnothing$

定义f与g在D上的和差积运算：

$F(x)=f(x)+g(x),x\in D,简写作f+g$

$G(x)=f(x)-g(x),x\in D,简写作f-g$

$H(x)=f(x)g(x),x\in D,简写作fg$

若在D中剔除使g(x)=0的x值,

即令 $D^*=D_1\cap \{x|g(x)\neq 0,x\in D_2\}\neq \varnothing$

定义f与g在 $D^*$ 上的商运算：

$L(x)={f(x)\over g(x)},x\in D^*,简写作{f\over g}$

注：若 $D=D_1\cap D_2=\varnothing$ ,则不能进行四则运算

复合函数

设有两函数

$y=f(u),u\in D$

$u=g(x),x\in E$

记 $E^*=\{x|g(x)\in D\}\cap E$ ,若 $E^*\neq \varnothing$ ,则对每一个 $x\in E^*$ ,可通过函数g对应D内唯一的一个值u,而u又通过函数f对应唯一的一个值y,确定定义在 $E^*$ 上的函数,以x为自变量,y为因变量

f和g的复合函数：

记作 $y=f(g(x)),x\in E^*$ 或 $y=(f\circ g)(x),x\in E^*,简写作f\circ g$

f为外函数,g为内函数,u为中间变量

注：当且仅当 $E^*\neq \varnothing(即D\cap g(E)\neq \varnothing)$ 时,f和g才能复合

反函数

设函数 $y=f(x),x\in D$ 满足：

对于值域f(D)中的每一个值y,D中有且只有一个值x使f(x)=y

则按此对应法则得到一个定义在f(D)上的函数,称为f的反函数

记作 $f^{-1}:f(D)\to D,$

$\qquad y\mapsto x$

或 $x=f^{-1}(y),y\in f(D)$

注：

1.f有反函数,则f是D与f(D)之间的一一映射,称 $f^{-1}$ 为映射f的逆映射, $f^{-1}$ 把f(D)中每一个f(a)对应到D中唯一的一个a,称a为逆映射 $f^{-1}$ 下f(a)的像,称f(a)为a在逆映射 $f^{-1}$ 下的原像

2.f与 $f^{-1}$ 互为反函数且

$f^{-1}(f(x))\equiv x,x\in D$

$f(f^{-1}(y))\equiv y,y\in f(D)$

3.反函数习惯记法：以x为自变量,y为因变量

$y=f^{-1}(x),x\in f(D)$

初等函数

六类基本初等函数：

常量函数： $y=c(c是常数)$

幂函数： $y=x^\alpha(\alpha\in R)$

指数函数： $y=a^x(a\gt 0,a\neq 1)$

对数函数： $y=log_ax(a\gt 0,a\neq 1)$

三角函数：

$y=sinx(正弦函数),y=cosx(余弦函数)$

$y=tanx(正切函数),y=cotx(余切函数)$

反三角函数：

$y=arcsinx(反正弦函数),y=arccosx(反余弦函数)$

$y=arctanx(反正切函数),y=arccotx(反余切函数)$

实指数乘幂定义

给定实数 $a\gt 0,a\neq 1,x\in R$ ,规定

$a^x=\begin{cases}\underset{r\le x}{sup}\{a^r|r\in Q\}\qquad a\gt 1\\ \underset{r\le x}{inf}\{a^r|r\in Q\}\qquad 0\lt a\lt 1\end{cases}$

初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数

不是初等函数的函数称为非初等函数

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