T0004导数原型

2020-05-13 本文已影响0人彼岸算术研究中心

有些导数的问题 , 尤其是抽象函数的导数问题 , 需要根据给出的导数还原函数的

形式 , 准确地将含有导数的不等式转化为函数的单调性 , 从而判断原函数的性质 , 例

如下题 :

Litiの1

设定义在 $( 0 , + ∞ )$ 的函数 f ( x ) 的导函数是 $f’(x) ,且 x ^4f’(x)+3 x ^3 f ( x ) = e^x ,$

$f(3)= \frac{e^{3}}{81} , 则 x > 0 时 , f ( x ) 满足 (\quad\quad )$

$A . 有极大值 , 无极小值$

$B . 有极小值 , 无极大值$

$C . 既无极大值 , 又无极小值$

$D . 既有极大值 , 又有极小值$

注本题的关键在于构造原函数的形式 . 常见的构造原函数的方法有 :

$( 1 ) ( f ( x ) g ( x ) )’ = f ’( x ) g ( x ) + f ( x ) g’ ( x ) ;$

$( 2 ) ( \dfrac{f(x)}{g(x)})^{ \prime }= \frac{f^{ \prime }(x)g(x)-f(x)g^{ \prime }(x)}{g^{2}(x)} ,$

而 ( 1 ) 的两种常用形式为 :

$( 3 ) (x^{m}f(x))^{ \prime }=x^{m-1}(xf^{ \prime }(x)+mf(x));$

$( 4)(e^{nx}f(x))^{ \prime }=e^{nx}(nf(x)+f^{ \prime }(x)).$

在应用中 , 第二种模型一般隐藏分母 , 第三种模型一般隐藏因式 $x^{m -1}$ , 第四种模

型一般隐藏 $e^{nx}$ , 做题过程中可以根据导数的运算法则将其准确还原出来 .

Timoの1

已知函数 $y = f ( x ) 是定义在 R$ 上的奇函数 , 且当 $x ∈ ( - ∞ , 0 )$ 时 ,

$f ( x ) ＋xf’( x ) < 0 ( 其中 f ’( x ) 是 f ( x ) 的导函数 ) ,$ 若 $a = ( 3 ^{0.3} ) · f ( 3^{0.3} ) , b = ( log_\pi 3 ) ·f ( log_ π 3 ) , c=( \log _{3} \frac{1}{9}) \cdot f( \log _{3} \frac{1}{9})$

则 $a , b , c$ 的大小关系是 ( )

$A . a > b > c \qquad B . c > a > b$

$C . c > b > a \qquad D . a > c > b$

Timoの2

$设 f ( x ) 的导函数为 f ′ ( x ) ,$ 已知 $( x -1 ) ( f ′ ( x ) - f ( x ) ) > 0 , f ( 2- x ) = f ( x ) e ^2-2 x ,$

则下列判断一定正确的是 ( )

$A . f ( 1 ) < f ( 0 ) \qquad \quad B . f ( 2 ) > ef ( 0 )$

Timoの3

已知 R 上的奇函数 $f ( x ) 满足f’(x)> -2 ,$ 则不等式 $f ( x -1 ) < x ^2 ( 3-2 \ln x ) +3 ( 1-2 x )$

的解集是 ( )

$A . (0, \frac{1}{e}) \quad \quad B . ( 0 , 1 )$ $C . ( 1 , + ∞ ) \quad D . ( e , + ∞ )$

答案

1.D

2.C

3.B

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