线性代数系列：求矩阵特征值和特征向量

2025-07-27 本文已影响0人 xiaogp

关键词：线性代数，特征值特征向量

知识准备

设λ为矩阵A的特征值，X为对应λ的特征向量，则根据定义

$AX = \lambda X$

进一步推导

$\begin{align*} \lambda X - AX &= 0 \\ (\lambda E - A)X &= 0 \end{align*}$

此为齐次线性方程组，要使得有非零解，则 $\lambda E - A$ 的行列式要为0，即

$|\lambda E - A| = 0$

解此方程可求得特征值λ，将求得的λ代入原齐次方程组即可求得X向量的通解，即为λ对应的特征向量。

[例题1]

求矩阵的特征值和特征向量
$A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \end{bmatrix}$

解:

矩阵特征值与特征向量求解

特征方程求解

计算行列式 $|\lambda E - A|$ ：

$\begin{vmatrix} \lambda-2 & -4 & 2 \\ -2 & \lambda-9 & 4 \\ 0 & 0 & \lambda-1 \end{vmatrix}$

按第三行展开：

$= (\lambda-1) \begin{vmatrix} \lambda-2 & -4 \\ -2 & \lambda-9 \end{vmatrix}$

计算二阶行列式：

$= (\lambda-1)[(\lambda-2)(\lambda-9) - 8] \\ = (\lambda-1)(\lambda^2 - 11\lambda + 10) \\ = (\lambda-1)^2(\lambda-10) = 0$

解得特征值：

$\lambda_1 = \lambda_2 = 1 \quad (\text{二重根}), \quad \lambda_3 = 10$

特征向量求解

1. 对于二重特征值 $\lambda = 1$

解方程组 $(E - A)X = 0$ ：

$\begin{bmatrix} -1 & -2 & 2 \\ -2 & -4 & 4 \\ 2 & 4 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = 0$

初等行变换：

$\rightarrow \begin{bmatrix} -1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

基础解系（2个线性无关解）：

$\xi_1 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \xi_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

通解形式：

$X = k_1 \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + k_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad (k_1, k_2 \text{不全为零})$

2. 对于特征值 $\lambda = 10$

解方程组 $(10E - A)X = 0$ ：

$\begin{bmatrix} 8 & -2 & 2 \\ -2 & 5 & 4 \\ 2 & 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = 0$

初等行变换：

$\rightarrow \begin{bmatrix} 4 & -1 & 1 \\ 0 & 9 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

基础解系：

$\xi_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix}$