7300T-1:2019-02-15

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7300T-1

如图，已知椭圆 $\frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{16}=1$ ,直线 $l:\frac{x}{12}+\frac{y}{8}=1$ .P是 $l$ 上一点，射线 $OP$ 交椭圆于点 $R$ .又点 $Q$ 在 $OP$ 上且满足 $|OP|\cdot |OQ|=|OR|^2$ .当点 $P$ 在 $l$ 上移动时，求点 $Q$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

image.png

思考过程1:

graph LR
A[xy方程]-->B[极坐标方程]
B-->C[消参]

以 $O$ 为极点， $Ox$ 为极轴建立极坐标系^[1].设 $Q$ , $R$ , $P$ 的极坐标分别为 $(\rho_1,\theta)$ , $(\rho_2,\theta)(\rho_3,\theta)$ , $\frac{\rho _2^2\cos ^2\theta}{24}+\frac{\rho_2 ^2\sin ^2 \theta }{16}=1$ , $\frac{\rho _3\cos \theta}{12}+\frac{\rho_3\sin \theta }{8}=1$ ,且 $\rho_1\rho_3=\rho_2^2$ ,则 $\frac{\rho _1\rho_3\cos ^2\theta}{24}+\frac{\rho_1 \rho_3\sin ^2 \theta }{16}=1$ ,则 $\frac{\rho _1 \cos \theta \cdot \rho_3\cos \theta}{2\cdot 12}+\frac{\rho_1\sin \theta \cdot \rho_3\sin \theta }{2\cdot 8}=1 \cdots （0）$ ,
$\rho_3(\frac{cos \theta}{12}+\frac{\sin \theta }{8})=1 \cdots(1) \\ \rho_3(\frac{\rho _1 \cos \theta \cdot \cos \theta}{2\cdot 12}+\frac{\rho_1\sin \theta \cdot \sin \theta }{2\cdot 8})=1 、\cdots(2)$

$\frac{cos \theta}{12}+\frac{\sin \theta }{8}=\frac{\rho _1 \cos \theta \cdot \cos \theta}{2\cdot 12}+\frac{\rho_1\sin \theta \cdot \sin \theta }{2\cdot 8} \cdots(3)$

$\frac{\rho_1cos \theta}{12}+\frac{\rho_1\sin \theta }{8}=\frac{\rho _1^2 \cos \theta \cdot \cos \theta}{2\cdot 12}+\frac{\rho_1^2\sin \theta \cdot \sin \theta }{2\cdot 8} \cdots(3)$

则：
$\frac{x}{12}+\frac{y }{8}=\frac{x^2}{2\cdot 12}+\frac{y^2 }{2\cdot 8} \cdots(4)$

$\frac{x^2-2x}{2\cdot 12}+\frac{y^2-2y }{2\cdot 8}=0 \cdots(5)$

所以所求方程为
$\frac{(x-1)^2}{24}+\frac{(y-1)^2 }{16}=\frac{5}{48}$
轨迹为椭圆.

思考过程2：

对思考过程1的极坐标方程使用结论来改进，降低消参难度。
$\boxed{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1} \\ \Leftrightarrow \boxed{\rho^2=\frac{a^2b^2}{b^2cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}}$
这样的话
$\rho_2^2=\frac{48}{2\cos^2\theta+3\sin^2\theta}$
类似的可以把 $\rho_3$ 表示出来
$\rho_3=\frac{24}{2\cos\theta+3\sin\theta}$

$\rho_2^2=\rho_1\rho_3=\frac{48}{2\cos^2\theta+3\sin^2\theta}\\ \Leftrightarrow \rho_1 \frac{24}{2\cos\theta+3\sin\theta}=\frac{48}{2\cos^2\theta+3\sin^2\theta}$

$\Leftrightarrow \rho_1 \frac{1}{2\cos\theta+3\sin\theta} =\frac{2}{2\cos^2\theta+3\sin^2\theta} \\ \Leftrightarrow \rho_1(2\cos^2\theta+3\sin^2\theta) =4\cos\theta+6\sin\theta \\ \Leftrightarrow \rho_1^2(2\cos^2\theta+3\sin^2\theta)=\rho_1(4\cos\theta+6\sin\theta) \\ \Leftrightarrow 2x^2+3y^2=4x+6y$

距离和方向角来定义点的位置的坐标系。属于选修4-4的内容。 ↩

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