高中数学纲目

对数函数：2015年文数全国卷B题21

2021-10-21 本文已影响0人易水樵

对数函数：2015年文数全国卷B题21

已知函数 $f(x)=\ln x+a(1-x)$ .

（Ⅰ）讨论 $f(x)$ 的单调性;

（Ⅱ）当 $f(x)$ 有最大值，且最大值大于 $2a-2$ 时，求 $a$ 的取值范围.

【解答问题Ⅰ】

函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ .

$f'(x) = \dfrac {1}{x} -a$

若 $a \leqslant 0$ ，则在 $(0,+\infty)$ 内 $f'(x) \gt 0$ .

函数在定义域内单调递增。

若 $a \gt 0$ ，则 $f'( \dfrac {1}{a}) =0$

当 $0 \lt x \lt \dfrac {1}{a}$ ， $f'(x) \gt 0$ ，函数单调递增；

当 $x \gt \dfrac {1}{a}$ ， $f'(x) \lt 0$ ，函数单调递减；

当 $x = \dfrac {1}{a}$ ，函数取得最大值 $f_{max} = \ln \dfrac {1}{a} + a -1$ ；

【解答问题Ⅱ】

根据问题Ⅰ的讨论可得：参数 $a$ 必须满足两项要求：

$a \gt 0$ 且 $a-1 - \ln a \gt 2a-2$

即：

$\left\{ \begin{array}\\ a \gt 0 \\ a-1 + \ln a \lt 0 \end{array} \right.$

令 $g(a)=a-1 + \ln a$

函数 $g(a)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ , 在定义域内单调递增；

$g(1)=0$

所以， $a$ 的取值范围是 $(0,1)$ .

【提炼与提高】

正确解答本题需要掌握以下知识：

（1）用导函数分析函数的单调性，并求函数的极值和最值；

（2）对数函数的导函数： $\boxed {(\ln x)' = \dfrac {1}{x} }$

（3） $\boxed{ \ln 1 = 0}$

这是一个入门级的高考题，可以在学习导数的过程中用作同步补充习题。

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