chpt.1 模型系统的态（4）

2019-12-19 本文已影响0人有限与微小的面包

$\boldsymbol{\mathrm{I}}.$ 重性函数的锐度

$\bullet$ 保持温度恒定的系统通常具有较为稳定的性质，物理状态的稳定性是热物理能做出的主要预言。

$\bullet$ 稳定性通常伴随着重性函数尖峰的出现，而远离尖峰的点的状态通常会急剧地变化。

（i）

我们接下来要证明，对于一个 $N$ 非常大的系统（ $N >\!> 1,\; |s|），重性函数会在<img class=$ ）， $s = 0$ 的点附近会出现尖峰。

我们需要先寻找一个函数 $g(N,s)$ 关于 $s$ 的近似。

根据之前的定义，重性函数

$g(N,s) = \frac{N!}{(\frac{1}{2}N + s)!(\frac{1}{2}N-s)!}$

由于这时的 $N$ 非常非常大（ $N \sim 10^{20}$ ），使用重性函数的自然对数 $\log g$ （底为 $e$ ）进行运算会更方便。

根据对数函数的基本性质，可以得到：

$\log g(N,s) = \log N! - \log(\frac{1}{2}N+s)! - \log(\frac{1}{2}N -s)!$

使用之前的表示：

$\begin{align*}N_{\uparrow} &= \frac{1}{2}N + s; & N_{\downarrow} = \frac{1}{2}N - s\end{align*}$

进一步得到：

$\boxed{\log g(N,s) = \log N! - \log N_{\uparrow}! - \log N_{\downarrow}!}$

（ii）

计算 $\log N!$ ，我们需要用到斯特灵近似(Stirling approximation)：

$N! \simeq (2\pi N)^{1/2}N^N\exp[-N+1/(12N)+...] ,\quad N>\!>1$

当 $N$ 足够大时，幂数中的 $1/(12N) +...$ 可以被忽略。

于是有：

$\log N! \cong \frac{1}{2}\log 2\pi + \left(N + \frac{1}{2}\right)\log N -N$

使用同样的方法，我们可以得到：

$\boxed{\log N_{\uparrow}! \cong \frac{1}{2}\log 2\pi + \left(N_{\uparrow} + \frac{1}{2}\right)\log N_{\uparrow} -N_{\uparrow}}$

$\boxed{\log N_{\downarrow}! \cong \frac{1}{2}\log 2\pi + \left(N_{\downarrow} + \frac{1}{2}\right)\log N_{\downarrow} -N_{\downarrow}}$

（iii）

对 $\log N!$ 加上并减去 $\frac{1}{2}\log N$ ，再利用关系 $N = N_{\uparrow} + N_{\downarrow}$ ，可将其改写成

$\boxed{\log N! \cong \frac{1}{2}\log(2\pi/N) + \left(N_{\uparrow} + \frac{1}{2} + N_{\downarrow} + \frac{1}{2}\right)\log N - (N_{\uparrow} + N_{\downarrow})}$

（iv）

将（ii）、（iii）方框中的表达式代入（i）得到

$\boxed{\log g = \frac{1}{2}\log\left(\frac{1}{2\pi N}\right) - \left(N_{\uparrow}+\frac{1}{2}\right)\log\left(\frac{N_{\uparrow}}{N}\right) - \left(N_{\downarrow} + \frac{1}{2}\right)\log\left(\frac{N_{\downarrow}}{N}\right)}$

（v）

其中

$\begin{align*}\log\left(\frac{N_{\uparrow}}{N}\right) &= \log\left(\frac{\frac{1}{2}N + s}{N}\right) = \log\frac{1}{2}\left(1 + \frac{2s}{N}\right)\\&= -\log 2 + \log\left(1 + \frac{2s}{N}\right)\end{align*}$

对 $\log\left(1+\frac{2s}{N}\right)$ 使用泰勒展开，有

$\log\left(1 + \frac{2s}{N}\right) = \frac{2s}{N} - \frac{2s^2}{N^2}+...$

可以得到

$\boxed{\log\left(\frac{N_{\uparrow}}{N}\right) \cong -\log 2 + \frac{2s}{N} - \frac{2s^2}{N^2}}$

同理，

$\boxed{\log\left(\frac{N_{\downarrow}}{N}\right) \cong -\log 2 - \frac{2s}{N} - \frac{2s^2}{N^2}}$

（vi）

将（v）方框中的表达式代入（iv），整理后可得：

$\begin{align*}\log g &\cong \frac{1}{2}\log\left(\frac{2}{\pi N}\right) + N\log 2 - \frac{2s^2}{N} + \frac{2s^2}{N^2}\\&\cong \frac{1}{2}\log\left(\frac{2}{\pi N}\right) + N\log 2 - \frac{2s^2}{N}\end{align*}$

（当 $N$ 非常大时，可略去二次反比项）

所以

$\boxed{g(N,s) \cong g(N,0)\exp(-2s^2/N)}$

其中

$g(N,0) = \sqrt{\frac{2}{N\pi}}\;2^N$

我们如愿地得到了近似后的重性函数，它是一个关于 $s$ 的分布函数，被称为高斯分布(Gaussian distribution)。

g(100,s)的高斯近似。可见，仅仅是

N = 100

，二者就基本看不出任何差别了。虚线处是最大值刚好减少

1/e

（大约

37\%

）时的位置

（vii）

$\bullet$ 当 $N$ 越来越大，趋近无穷时，重性函数将会越来越接近高斯分布。

即

$N \rightarrow \infty$ ， $g(N,s) \rightarrow g(N,0)\exp(-2s^2/N)$ 。

所以

$\lim_{N \rightarrow \infty}\sum_{s = -\frac{1}{2}N}^{\frac{1}{2}N} g(N,s) \cong \int_{s = -\infty}^{\infty}g(N,0)\exp(-2s^2/N)\;ds$

为什么？

因为当 $N \rightarrow \infty$ 时，比值

$\frac{\sum_{s=0}^{N}s}{\int_0^Nsds} = \frac{\frac{1}{2}(N^2 + N)}{\frac{1}{2}N^2} \rightarrow 1$

两者的差距只会越来越小。这时求和就可以直接被近似成求积。

任意的一般完整高斯积分都可以使用伽马函数(gamma function)进行快速计算。

$\bullet$ 在这里我展示一种稍麻烦但更直接的方法：

设原始积分为 $I_0$ ，则

$I_0 = \int_{s = -\infty}^{\infty}g(N,0)\exp(-2s^2/N)\;ds$

用 $x = \sqrt{\frac{2}{N}} s$ 进行替换，可以得到：

$I_0 = \sqrt{\frac{N}{2}}g(N,0)\int_{x=-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx$

这是个一维积分，路径是整条 $x$ 轴。

我们同时也可以有：

$I_0 = \sqrt{\frac{N}{2}}g(N,0)\int_{y=-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy$

它和上面的积分有同样的值，不过现在路径是整条 $y$ 轴。

将这两个积分乘起来，我们得到：

$\begin{align*}I_0^2 &= \frac{N}{2}g^2(N,0)\int_{x=-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\left(\int_{y=-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy\right)\\&= \frac{N}{2}g^2(N,0)\int_{x=-\infty}^{\infty}\int_{y=-\infty}^{\infty}e^{-(x^2 + y^2)}dxdy\\&= \frac{N}{2}g^2(N,0)\iint_{\text{entire plane}}e^{-(x^2 + y^2)}dA\end{align*}$

这是一个二维面积积分，范围是整个平面。

使用极坐标， $r^2 = x^2 + y^2$

$\begin{align*}I_{0}^2 &= \frac{N}{2}g^2(N,0)\int_{r = 0}^{\infty}\int_{\phi = 0}^{2\pi} re^{-r^2}drd\phi\\&= \frac{N}{2}g^2(N,0)\int_{\phi = 0}^{2\pi}d\phi\int_{r= 0}^{\infty}re^{-r^2}dr\\&= \frac{\pi N}{2}g^2(N,0)\end{align*}$

最后再开根号

$\begin{align*}I_0 &= \int_{s = -\infty}^{\infty}g(N,0)\exp(-2s^2/N)\;ds = \sqrt{\frac{N\pi}{2}}g(N,0)\\&= \sqrt{\frac{N\pi}{2}}\sqrt{\frac{2}{N\pi}}\;2^N\\&= 2^N\end{align*}$