线性代数(三)向量组

2021-08-26  本文已影响0人  AdRainty

一、向量及向量组的线性相关性

1、向量的概念和运算

n维向量：n个数构成的一个有序数组称为一个n维向量，记为\boldsymbol{\alpha}=\left[ \begin{matrix} a_1& a_2& \cdots& a_n \end{matrix} \right],并称α为n维行向量,\boldsymbol{\alpha}^T=\left[ \begin{matrix} a_1& a_2& \cdots& a_n \end{matrix} \right]^T称为n维列向量。

2、向量组的线性表出与线性相关的概念

1.2.1 线性组合

设\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{s}}是n维向量，k_1,k_2,\cdots k_s是一组实数，则称
k_1\boldsymbol{\alpha }_1+k_2\boldsymbol{\alpha }_2+\cdots +k_s\boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{s}}
是\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{s}}的线性组合

1.2.2 线性表出

设向量\beta能表示成向量组\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{s}}的线性组合，即存在k_1,k_2,\cdots k_s，使得
\boldsymbol{\beta} = k_1\boldsymbol{\alpha }_1+k_2\boldsymbol{\alpha }_2+\cdots +k_s\boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{s}}
则称向量\beta能被向量组\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{s}}线性表出

1.2.3 线性相关

对n维向量\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{s}}，如果存在不全为零的数使得
k_1\boldsymbol{\alpha }_1+k_2\boldsymbol{\alpha }_2+\cdots +k_s\boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{s}}=0
则称向量组\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{s}}线性相关，否则，则称向量组\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{s}}线性无关

含有零向量或者有成比例的向量的向量组必定线性相关

3、判别线性相关性的七大定理

1.3.1 定理1

向量组\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{n}}(n \ge 2)线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可以由其余的n-1个向量线性表出

1.3.2 定理2

若向量组\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{n}}线性无关，而向量组\boldsymbol{\beta} ,\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{n}}线性相关，则\beta能被向量组\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{s}}线性表出

1.3.3 定理3

如果向量组\beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } , \cdots , \beta _ { t }可以由向量组\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{s}}线性表示，且t>s则\beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } , \cdots , \beta _ { t }线性相关

1.3.4 定理4

设m个n维向量\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{m}}，其中
\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left[a_{11}, a_{21}, \cdots, a_{n 1}\right]^{\mathrm{T}}

\boldsymbol{\alpha}_{2}=\left[a_{12}, a_{22}, \cdots, a_{n 2}\right]^{\mathrm{T}}

\ldots \ldots

\boldsymbol{\alpha}_{m}=\left[a_{1 m}, a_{2 m}, \cdots, a_{m}\right]^{\mathrm{T}}

则向量组\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{m}}线性相关的是齐次线性方程组
\boldsymbol{A}x=\boldsymbol{0}
有非零解，其中
A=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}\right]=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{m}\end{array}\right], \quad x=\left[\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{m}\end{array}\right]

1.3.5 定理5

量\beta能被向量组\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{s}}线性表出

\Leftrightarrow非齐次线性方程组 \left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{s}\end{array}\right]=\boldsymbol{\alpha}_{1} x_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2} x_{2}+\cdots+\boldsymbol{\alpha}_{s} x_{s}=\boldsymbol{\beta} 有解

\Leftrightarrow r\left(\left[\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\right]\right)=r\left(\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}, \boldsymbol{\beta}\right]\right) .

1.3.6 定理6

如果向量组\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{m}}中有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关

1.3.7 定理7

如果一组 n 维向量 \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \alpha_{s} 线性无关,那么把这些向量各任意添加 m 个分量所得到的新向量 (n+m 维)组 \boldsymbol{\alpha}_{1}^{*}, \boldsymbol{\alpha}_{2}^{*}, \cdots, \alpha_{s}^{*} 也是线性无关的;如果 \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} 线性相关,那么它们各去掉相同的若干个分量所得到的新向埋组也是线性相关的.

二、极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩

1、极大线性无关组

在向量组\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{s}}中，若存在r个向量\boldsymbol{\alpha }_i1,\boldsymbol{\alpha }_i2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_ir满足

则称\boldsymbol{\alpha }_i1,\boldsymbol{\alpha }_i2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_ir是向量组\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{s}}的一个极大线性无关组

向量组的极大线性无关组一般不唯一，只由一个零向量组成的向量组不存在极大线性无关组，一个线性无关向量组的极大线性无关组就是该向量组本身

2、等价向量组

设有两个向量组（Ⅰ）\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{s}}；（Ⅱ）\boldsymbol{\beta }_1,\boldsymbol{\beta }_2,\cdots \boldsymbol{\beta }_t

如果（Ⅰ）中的每个向量都可由（Ⅱ）中的向量线性表出，则称向量组（Ⅰ）可以由向量组（Ⅱ）线性表出。如果（Ⅰ）（Ⅱ）这两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价，记作(I) \cong(\Pi)

向量组和它的极大线性无关组是等价向量组

矩阵等价的充要条件是，同型且秩相等，注意区分

3、向量组的秩

向量组\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{s}}的极大线性无关组\boldsymbol{\alpha }_i1,\boldsymbol{\alpha }_i2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_ir中所含的向量的个数r称为这个向量组的秩，记作r(\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots \boldsymbol{\alpha }_{\boldsymbol{s}})=r

等价向量组等秩,反之未必成立.

4、有关向量组的秩的重要定理和公式

设向量组 \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \alpha_{s} 及 \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{t} . 若 \boldsymbol{\beta}_{i}(i=1,2, \cdots, t) 均可由 \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s} 线性表出,则
r\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{t}\right) \leqslant r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}\right) .

r(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) \leqslant \min \{r(\boldsymbol{A}), \boldsymbol{r}(\boldsymbol{B})\}

r(A+\boldsymbol{B}) \leqslant r([\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}]) \leqslant r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})

r\left(A^{*}\right)=\left\{\begin{array}{ll}n, & r(A)=n, \\ 1, & r(A)=n-1, \\ 0, & r(A)<n-1 .\end{array}\right.

三、向量空间

1、基本概念

若 \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n} 是 n 维向量空间 \mathrm{R}^{n} 中的线性无关的有序向量组,则任一向量 \alpha \in \mathrm{R}^{n} 均可由 \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots ，\xi_{n},线性表出，记表出式为
\alpha=a_{1} \xi_{1}+a_{2} \xi_{2}+\cdots+a_{n} \xi_{n}
称有序向量组 \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n} 是 \mathbf{R}^{n} 的一个基,基向量的个数 n 称为向量空间的维数,而 \left[a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right] (\left[a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right]^T) 称为向量 \alpha 在基 \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n} 下的坐标,或称为 \alpha 的坐标行(列)向量.

2、基变换、坐标变换

\left[\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}\right]=\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right]\left[\begin{array}{cccc} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1 n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{n 1} & c_{n 2} & \cdots & c_{m} \end{array}\right]=\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right] \boldsymbol{C},
则上式称为矩阵由基 \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n} 到基 \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n} 的基变换公式，矩阵C称为由基 \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n} 到基 \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n} 的过渡矩阵。C的第i列即是\eta_i在基 \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n} 下的坐标列向量，且过渡矩阵C是可逆矩阵

\alpha=\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right] x=\left[\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}\right] y .
又基 \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n} 到基 \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n} 的过渡矩阵为 C,即
\begin{array}{c} {\left[\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}\right]=\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right] C}\end{array}
则
\begin{array}{c} \alpha=\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right] x=\left[\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}\right] y=\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right] C y \end{array}
得
x=C y \text { 或 } y=C^{-1} x
上式称为左边变换公式

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