什么是抽象--数学基本思想18讲

今天继续读绪言。

1.抽象是从许多事物中舍弃个别的、非本质属性，得到共同的、本质属性的思维过程，是形成概念的必要手段。（概念是一种抽象出来 的知识单元或者思维单元，是构建知识和思维的基础要素。）

2.最初的抽象是基于直观的，康德说：“人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束。”

3.数学抽象包括两方面的内容：数量与数量关系；图形与图形关系。数学的抽象不仅仅要抽象出数学所要研究的对象，还要抽象出这些研究对象之间的关系。与研究对象的存在性相比，研究对象之间的关系更为本质。

亚里士多德在《形而上学》中说：个体不能同时在多处存在，共相却可以同时存在于众多，所以也不难明白，离开了特殊普遍将不复存在。

4.数量与数量关系的抽象。

这里的摘抄感觉可以全部，但我觉得摘抄也是一种思考。我把最后一段先摘抄下来。

虽然人们在很早以前就抽象出了数以及四则运算，抽象出了数与数之间的关系，甚至建立了基于极限运算的微积分，但直到20世纪初，人们才合理地解释了什么是数，以及各种关于数的运算及其法则。

人们把现实生活中的数量抽象为数，形成自然数，并且用十个符号和数位进行表示，得到了自然数集。在现实生活中，数量关系的核心是多与少，人们又把这种关系抽象到数学内部，这就是数的大与小。后来，人们又把大小关系推演为更一般的有序关系。

由大小关系的度量产生了自然数的加法，由加法的逆运算产生了减法，由加法的简便运算产生了乘法，由乘法的逆运算产生了除法。因此，数的运算本质是四则运算，这些运算都是基于加法的。通过运算的实践以及对运算性质的研究，抽象出运算法则。为了保证运算结果的封闭性，自然数集扩张为整数集；为了除法运算的封闭，整数集扩张为有理数集。

数学还有第五种运算，极限运算，涉及数及数的运算的第二次抽象。极限运算的确立，源于的牛顿、莱布尼茨创立的微积分，因为微积分的运算基础就是极限。