弦论小女孩的弦论课|第十九课|欧拉示性数

2020-06-30 本文已影响0人周思益

今天上课，老师讲欧拉示性数

”欧拉示性数 $\chi$ 是一个能够描述拓扑空间形状的数。

V：顶点数

E：边数

F：面数

欧拉示性数的定义如下

$\chi = V-E+F$

如果形状A可以通过拉伸或者压缩，而不通过扯断或者撕破变成形状B。我们就说这两种形状是同胚(homeomorphism)。

如果弦的世界面的欧拉示性数是0，那么我们可以使用如下的平坦空间的auxiliary metric

$h_{\alpha\beta} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

由此，Polyakov action可以化简为如下形式

$S_p = \frac{T}{2} \int d^2 \sigma ( \dot X^2 - X'^2 )$

弦的运动方程如下

$\frac{\partial^2 X\mu}{\partial \tau^2} - \frac{\partial^2 X_ \mu}{\partial \sigma^2}$

“

思思又睡着了。弦论小女孩又拉着思思去买东西吃。思思急于要理解”欧拉示性数“回到课堂应付老师的提问，于是急躁地跟弦论小女孩说：”先告诉我什么是欧拉示性数吧，十万火急，老师马上要点我了。“

弦论小女孩还是一副赖皮的模样，只是拉着思思的衣角往超市走。”不陪我去吃零食就不告诉你。“

思思只得应允。

image

她俩买了甜甜圈，蛋卷，莫比乌斯面，还有一个克莱因瓶装了饮料。

思思只是勉强吃了一点点，还是抑制不住一颗急躁的心：”快告诉我，什么是欧拉示性数？“

弦论小女孩说：”欧拉示性数就是2-2*洞。你数数我们吃的东西都有几个洞啊。“

甜甜圈，一个洞，蛋卷，一个洞，莫比乌斯面，一个洞，克莱因瓶，思思不知道了。

”一个洞！“弦论小女孩说。

思思拿着克莱因瓶，看来看去，感觉好像是一个洞，但总觉得很奇怪。弦论小女孩看思思没懂。于是拉着思思在地球上到处游荡。地球上刮起了狂风。思思很害怕。但弦论小女孩一点也不害怕。

”地球上，总有两个地方没有风。“

于是二人走啊走啊走。终于找到了一个没有风的地方。

后来两人来到了一个甜甜圈形状的地球上。仍然刮起了狂风。两人被吹得绕着甜甜圈飞了好多好多圈。

image

“这个世界上，所有地方都在刮风。”

俩人又去了蛋卷的世界，莫比乌斯面的世界和克莱因瓶的世界。这些世界里面两人都没有找到没有风的地方。

”所以，一个世界上最少有几个没有风的地方，这个世界的欧拉示性数就是多少。“

弦论小女孩说。这下思思明白了。

教室里刮起了狂风。思思在狂风中醒来了。

”思思，你的神儿都被风刮跑啦。“老师也被狂风刮得踉跄，但她勉强维持住平衡”你来回答这个问题 , 欧拉示性数为零的面有哪些？“

思思正准备回答“甜甜圈，蛋卷，莫比乌斯面和克莱因瓶。”突然意识到自己在教室里，于是改口“Torus, Mobius strip, Klein bottle 和cylinder。”

在老师和同学惊异的目光中，思思逃过了第十九劫。