数学分析理论基础21：单调函数

2019-05-03 本文已影响5人溺于恐

单调函数

单调性判断

定理：设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导,则 $f(x)$ 在 $I$ 上递增(减)的充要条件是 $f'(x)\ge 0(\le 0)$

证明：

必要性

若 $f$ 为增函数

则 $\forall x_0\in I$ ,当 $x\neq x_0$ 时有 ${f(x)-f(x_0)\over x-x_0}\ge 0$

令 $x\to x_0$ ,即得 $f'(x_0)\ge 0$

充分性

若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上恒有 $f'(x)\ge 0$

则 $\forall x_1,x_2\in I$ ,不妨设 $x_1\lt x_2$

应用Lagrange定理

$\exists \xi\in (x_1,x_2)\subset I$ ,使得

$f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)\ge 0$

故 $f$ 在 $I$ 上为增函数 $\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：若函数 $f$ 在 $(a,b)$ 上可导,则 $f$ 在 $(a,b)$ 上严格递增(递减)的充要条件是

1. $\forall x\in (a,b)$ ,有 $f'(x)\ge 0(f'(x)\le 0)$

2.在 $(a,b)$ 的任何子区间上 $f'(x)\not\equiv 0$

推论：设函数在区间 $I$ 上可微,若 $f'(x)\gt 0$ ( $f'(x)\lt 0$ ),则 $f$ 在 $I$ 上严格递增(严格递减)

注：若 $f$ 在 $(a,b)$ 上(严格)递增(减),且在点 $a$ 右连续,则 $f$ 在 $[a,b)$ 上亦为(严格)递增(减),对右端点 $b$ 可类似讨论

Darboux定理

定理：若函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $f_+'(a)\neq f_-'(b)$ ， $k$ 为介于 $f_+'(a),f_-'(b)$ 之间任一实数，则至少存在一点 $\xi\in(a,b)$ ，使得 $f'(\xi)=k$

证明：

设 $F(x)=f(x)-kx$

则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导

且 $F_+'(a)\cdot F_-'(b)=(f_+'(a)-k)(f_-'(b)-k)\lt 0$

不妨设 $F_+'(a)\gt 0,F_-'(b)\lt 0$

则 $\exists x_1\in U_+^\circ(a),x_2\in U_-^\circ(b),x_1\lt x_2$ ，使得

$F(x_1)\gt F(a),F(x_2)\gt F(b)$

$\because F$ 在 $[a,b]$ 上可导，故 $F$ 连续

由最大、最小值定理

$\exists \xi\in [a,b]$ ,使 $F$ 在点 $\xi$ 取得最大值

显然 $\xi\neq a,b$

即 $\xi$ 是 $F$ 的极大值点

由费马定理得 $F'(\xi)=0$

即 $f'(\xi)=k,\xi\in (a,b)$

注：定理又称为导函数的介值定理

推论：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上满足 $f'(x)\neq 0$ ，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上严格单调

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