Manacher算法
看这样一道例题：
hdoj-3068.最长回文
给出一个只由小写英文字符a,b,c...y,z组成的字符串S,求S中最长回文串的长度.
回文就是正反读都是一样的字符串,如aba, abba等
Input:输入有多组case,不超过120组,每组输入为一行小写英文字符a,b,c...y,z组成的字符串S
两组case之间由空行隔开(该空行不用处理)
字符串长度len <= 110000
Output:每一行一个整数x,对应一组case,表示该组case的字符串中所包含的最长回文长度.
Sample Input:
aaaa
abab
Sample Output:
4
3
注意到本题的数据范围是10^5级别的，用朴素的算法肯定是会超时的，那有没有高效地求解最长回文串的算法呢？下面介绍Manacher算法：
Manacher算法
注意到，对于一个回文串，可能有两种形式，第一种是aba，该回文串是以b这个字符为中心的，第二种是abba，它是以bb这两个字符为中心的，如此，为了统一处理这两种情况，我们需要对字符串进行一个预处理：
pic1
进行了这样的预处理之后，对于偶回文串，比如图中的aa，它在str中的形式是#a#a#，而对于奇回文串，比如图中的aba，它在str中的形式是#a#b#a#，那么在求最大回文串的过程中，我们将‘#'当作字符串的一部分就可以统一处理这两种形式的回文串。
引入几个核心变量
在马拉车算法中，我们引入这样几个变量：
- rt: 表示当前的已经计算过的回文串a所触及到的最右边的位置的下一个位置
-
2.mid: 表示上面字符串a的回文中心
-
3.dp数组： 表示每个字符的最大回文长度
我们根据一个例子来看这几个变量的作用：
pic2
根据定义我们得到上述字符串的dp数组：
pic3
同时根据上述的结果，我们很容易发现，原字符串中每个字符的最大回文长度就等于。
几个注意点
- 1.注意到#字符也是在我们处理中，所以我们需要在开头加上一个与#不同的字符。
- 2.为了避免边界问题，我们在字符末尾加上一个哨兵，也必须与#不同。
代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <fstream>
using namespace std;
const int N = 110100, M = N*2;
char s[N]; //原字符串
char str[M]; //预处理之后的字符串
int dp[M];
int m;
void Manacher(){
int rt = 0, mid = 0; //rt:当前的已经计算过的回文串a所触及到的最右边的位置的下一个位置，mid表示a的回文中心
int res = 0;
for(int i = 1; i<=m; i++){
dp[i] = (i<rt? min(dp[mid*2-i],rt-i):1);
while(str[i+dp[i]] == str[i-dp[i]]) dp[i]++;
if(i+dp[i]> rt){
rt = i+dp[i];
mid = i;
}
res = max(res,dp[i]-1);
}
cout<<res<<endl;
}
int main()
{
str[0] = '!';
str[1] = '#';
while(scanf("%s",s)!=EOF){
int n = strlen(s);
for(int i = 0; i<n; i++){
str[i*2+2] = s[i];
str[i*2+3] = '#';
}
m = n*2+1;
str[m+1] = '@';
Manacher();
}
return 0;
}
// 原字符串s: a b a a
// 预处理串str: # a # b # a # a #
// dp数组： 1 2 1 4 1 2 3 2 1
总结
在我自己看来，马拉车算法的核心就是在于利用了我们之前已经计算过的信息来更新当前的信息，而这也是大部分高效算法高效的原因，它将能利用的都利用上，而不是从0开始获取某个信息。
如果有写的不对的欢迎交流~
