知识点：数据分布

• 正态分布

正态分布（英语：normal distribution）又名高斯分布（英语：Gaussian distribution），是一个非常常见的连续概率分布。正态分布在统计学上十分重要，经常用在自然和社会科学来代表一个不明的随机变量。

一般正态分布是在标准正态分布基础上平移或缩放得到的。如缩放（标准差）后平移（期望）得到概率密度函数公式为：

正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线（类似于寺庙里的大钟，因此得名）。我们通常所说的标准正态分布是位置参数,的正态分布。

正态分布像一只倒扣的钟。两头低，中间高，左右对称。大部分数据集中在平均值，小部分在两端。实际上人的身高就是符合正态分布的。

神奇的是，正态分布是普遍规律。不管是人的身高，手臂长度，肺活量，还是他们的考试成绩，都符合正态分布。

符合正态分布的商业现象也很多。大部分员工的业绩，都是一般的，做得特别好的非常少，做得特别差的也不多见。这就是为什么绩效管理领域中平均水平占绝大数。

大部分人的智商是正常的，正态分布有点像2/8原则。少数像爱伊斯坦老爷子这样的智商太超常了

正态分布中一些值得注意的量：

密度函数关于平均值对称

平均值是它的众数（statistical mode）以及中位数（median）

函数曲线下68.268949%的面积在平均值左右的一个标准差范围内

95.449974%的面积在平均值左右两个标准差2σ的范围内

99.730020%的面积在平均值左右三个标准差3σ的范围内

99.993666%的面积在平均值左右四个标准差4σ的范围内

σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。

• 伯努利分布

伯努利分布亦称“零一分布”、“两点分布”。

如果随机变量X只取0和1两个值，并且相应的概率为：

则称随机变量X服从参数为p的伯努利分布，若令q=1一p，则X的概率函数可写为：

• 二项分布

二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。

举个实例，最简单的抛硬币试验就是伯努利试验，在一次试验中硬币要么正面朝上，要么反面朝上，每次正面朝上的概率都一样p=0.5，且每次抛硬币的事件相互独立，即每次正面朝上的概率不受其他试验的影响。如果独立重复抛n=10次硬币，正面朝上的次数k可能为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中的任何一个，那么k显然是一个随机变量，这里就称随机变量k服从二项分布。

n次抛硬币中恰好出现k次的概率为

P(X=k) = C(n,k) * pk*(1-p)n-k

记作X~B(n,p)。

总结：伯努利分布、两点分布、0-1分布这三种分布是同一个分布的不同名称，又都是二项分布在n=1时的特例。

• 泊松分布

公式推导（马同学高等数学强推！！）

泊松分布的理解：

日常生活中，大量事件是有固定频率的：超市平均每天销售包奶粉；网站平均每分钟有次访问；

特点就是我们可以预估这些事件的总数，但没法知道具体的发生时间。已知平均每分钟有2次访问，下分钟有几次访问是无法知道的。

泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。

一个事件在一段时间内随机发生，其服从泊松分布的条件为：

（1）将该时间段无限分隔成很多个小的时间段，在这个小的时间段内，事件发生的概率非常小，不发生的概率非常大。

（2）在每个小的时间段内，事件发生的概率是稳定的，且与小的时间段的长度成正比。

（3）该事件在不同的小时间段里，发生与否相互独立。

• 均匀分布

• 伽马函数

这个可以形象理解为用一个伽马刀，对x动了一刀，于是指数为x-1,动完刀需要扶着梯子(-t)才能走下来。这样，就记住了关键的,−t。

性质：

• 卡方分布

• Beta分布

Beta分布是一个定义在[0,1]区间上的连续概率分布族，它有两个正值参数，称为形状参数，一般用和表示。在贝叶斯推断中，Beta分布是Bernoulli、二项分布、负二项分布和几何分布的共轭先验分布。Beta分布的概率密度函数形式如下：

这里的表示gamma函数。

Beta分布的均值是：

方差是：

Beta分布可以看作一个概率的概率分布，当你不知道一个东西的具体概率是多少时，它可以给出所有概率出现的可能性大小。Beta分布是一个连续分布，由于它描述概率p的分布，因此其取值范围为0到1。

​​