线性代数的本质（笔记3）（完）

1. 叉积与点积

• 点乘，也叫数量积。结果是一个向量在另一个向量方向上投影的长度，是一个标量。
• 叉乘，也叫向量积。结果是一个和已有两个向量都垂直的向量。

以我比较熟悉的图形学而言，一般点乘用来判断两个向量是否垂直，因为比较好算。也可以用来计算一个向量在某个方向上的投影长度，就像定义一样。叉乘更多的是判断某个平面的方向。从这个平面上选两个不共线的向量，叉乘的结果就是这个平面的法向量。

1.1 举例

假如 向量a 为（x1, y1），向量b为(x2, y2)
点积结果 为 x1 * x2 + y1 * y2 = |a||b| cos<a,b>
叉积的模为 x1 * y2 - x2 * y1 = |a||b| sin<a,b>

叉积是求平行四边形的面积，这个面积是和这个面垂直向量的长度

• 既然叉乘的结果是和两个向量都垂直的向量，那么怎么判断生成向量的方向？

  
  右手定则

• 两个坐标的叉乘为另一个向量

  
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2. 基变换

• A-1MA的转移作用

如果M是我们可见的空间的变换，而A表示从小明的角度转换到我们的空间的基变换矩阵，那么A−1MA就是M矩阵对应的变换在小明空间的对应形式。

2.1 基变换与线性变换的联系

• 对于两个不同基向量的坐标系，它们所说的[2; 1]（任意的除零向量的具体的向量）并不是同一个向量。比如小明的基向量下的[2; 1]可能是小红的基向量下的[1; 2]。将小明所说的向量转换为小红理解的向量，这个过程就是基变换。

• 下图，以标准基向量的视角，A是另外一个视角的两个基向量，A是变换矩阵，能将标准坐标系视角转变成新的坐标系视角。

  
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2.2 A-1MA的转移作用

• 在标准的基变量下，旋转的变换矩阵容易可得，为[0 -1; 1 0]。而另外的基向量 A下，旋转变换的矩阵是什么并不容易知。可通过视角转换简化问题。

  
  将A视角下的向量转换为标准基向量视角
  对得到的标准基向量视角的矩阵进行标准基向量的旋转
  对旋转结果取A的逆变换，得到A视角下的旋转结果
• 上面的过程中，我们已知标准基向量下的旋转变换矩阵是什么，但不知道A视角下的旋转变换矩阵是什么。所以采用了先将待旋转的A视角下的变量变换成标准基向量下的矩阵，此时可应用已知的旋转变换，然后再使用A的逆变换，将其变回A视角。
• 上图的四个矩阵的前3个，构成了A-1MA的一种转移作用。
• A-1MA作用是，将一种视角下（比如标准基向量）的M变换，换成A的视角下的同等变换（比如同样坐标系旋转90°，在标准基向量下是[0 -1; 1 0]，而在A视角下是[1/3 -2/3; 5/3 -1/3]，两个变换对自己基向量上的向量有相同效果，是将一个向量90°旋转，不过在不同基向量下，变换矩阵的具体值不一样）

3. 特征向量与特征值

3.1 特征向量和特征值的在几何表示中是什么？

• 在一个变换矩阵中，可能存在一些向量，在经过变换后方向并没有改变，只是长度变为原来的n倍（即在变换后仍然留在自己的张成空间），也就是说变换矩阵的对这些向量的效果只是数乘（scaling）。满足这种条件的向量称为该变换矩阵的特征向量，而这个数乘n倍的n则为该特征向量的特征值。

• 比如对于下图中的[3 1; 0 2]的变换矩阵，有存在两个特征向量，其中一个为图中黄色线段上，另一个在x轴上。

  
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3.1 如何求特征向量

如果det(A−λI)≠0，则v向量有且只有一个是零向量。只有当det(A−λI)=0时，可以有非零解。

3.2 特征基

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4. 抽象向量空间

• 很抽象没怎么看明白，不过告诉我几个道理

1. 任何事物都可以是向量
2. 导数也是向量
3. 普适的代价是抽象