阶乘、奇数偶数阶乘的相关公式和斯特林公式的证明

2019-10-14  本文已影响0人  壮志_凌云

一、伽玛函数

伽玛函数的定义:\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt,其中,\Gamma(1) = 1。当 x > 1 时,则有:

\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt = t^x e^{-t} \bigg|_0^{\infty} - \int_0^{\infty} t[(x-1) t^{x-2} e^{-t} - t^{x-1} e^{-t}] dt = (1-x) \Gamma(x) + \Gamma(x+1)

\Gamma(x+1) = \int_0^{\infty} t^x e^{-t} dt = -t^x e^{-t} \bigg|_0^{\infty} + x \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt = x \Gamma(x)

可以得出,若n \in N,则有: \Gamma(n + 1) = n \Gamma(n) = n*(n-1) \Gamma(n-1) = \dots = n!

二、正弦幂的积分函数和沃利斯公式

设 I(x) = \int_0^{ \frac{\pi}{2} } (sint)^x dt,其中,函数单调递减,I(0) = \frac{\pi}{2}, I(1) = 1。当 x \geq 2 时,有 I(x) 的递推公式:

I(x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (sint)^x dt = -cost (sint)^{x-1} \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} + (x-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} (cost)^2 (sint)^{x-2} dt

\implies I(x) = (x-1) (I(x-2) - I(x))

\implies I(x) = \frac{x - 1}{x} I(x-2)

可以得出,若 n \in N,则有:I(n) = \frac{(n-1)!!}{n!!} I(n \ mod \ 2),有此可推出:

I(2n + 1) < I(2n) < I(2n - 1)

\implies \frac{(2n)!!}{(2n + 1)!!} < \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{\pi}{2} < \frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}

\implies 1 < (\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!})^2 (2n+1) \frac{\pi}{2} < \frac{2n+1}{2n}

\implies \frac{2n}{2n+1} \frac{\pi}{2} < (\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!})^2 \frac{1}{2n+1} < \frac{\pi}{2}

\implies \lim_{n \to \infty} (\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!})^2 \frac{1}{2n+1} = \frac{\pi}{2}

\implies \lim_{n \to \infty} (\frac{(2n)!!(2n)!!}{(2n)!})^2 \frac{1}{2n+1} = \frac{\pi}{2}

\implies \lim_{n \to \infty} (\frac{2^{2n} n! n!}{(2n)!})^2 \frac{1}{2n+1} = \frac{\pi}{2}

这就推导出了沃利斯公式。

三、斯特林公式

斯特林公式是 n! 的近似值,\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2n \pi} (\frac{n}{e})^n} = 1,下面来证明此结论。

参考上图,数列 A_n 表示曲线 lnx, 1 \leq x \leq n 与 x 轴之间的区域面积,则:  

A_n = \int_{1}^{n} lnx dx = lnn^n - n + 1

数列 B_n 表示 A_n 的不足近似。它是将点 (1, 0),(2, ln2),\dots,(n, ln) 通过直线连接,计算折线与 x 轴之间由n-1个梯形组成的区域的面积得到,则:

B_n = \frac{1}{2}ln1 + ln2 + ln3 + \dots + ln(n-1) + ln\sqrt{n} = lnn! - ln\sqrt{n}

数列 C_n 表示 A_n 的过剩近似。它是先做点 (k, lnk),2 \leq k \leq n-1 的切线,然后可以得到由切线和三条直线 x = k - 1/2, y = 0, x = k + 1/2 围成的 n-2 个梯形。这些梯形的面积,加上三角形 (1, 0);(3/2,0);(3/2, 1/2)的面积,再加上矩形 (n-1/2,0);(n,0);(n, ln);(n-1/2,ln) 的面积得到,则:

C_n = \frac{1}{8} + ln2 + ln3 + \dots + ln(n-1) + ln\sqrt{n}

B_n < A_n < C_n \implies 0 < A_n - B_n < C_n - B_n

\implies 0 < lnn^n - n + 1 - lnn! + ln\sqrt{n} < \frac{1}{8}

设数列 D_n = lnn^n - n + 1 - lnn! + ln\sqrt{n},由于 D_n 单调递增且有界,故 D_n 必有极限,且可得到 n! 的表达式:

n! = \sqrt{n} (\frac{n}{e})^n E_n, E_n = e^{1 - D_n},其中 E_n 必有极限;

将 n! 的表达式带入沃利斯公式可得:

\lim_{n \to \infty} (\frac{2^{2n} E_n^2 (\frac{n}{e})^{2n} n}{E_{2n} (\frac{2n}{e})^{2n} \sqrt{2n}})^2 \frac{1}{2n+1} = (\lim_{x \to \infty} E_n)^2 \lim_{x \to \infty} \frac{n}{2(2n+1)}= \frac{\pi}{2}

\implies \lim_{x \to \infty} E_n = \sqrt{2 \pi}

\implies \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2n \pi} (\frac{n}{e})^n} = 1

\implies n! \approx \sqrt{2n \pi} (\frac{n}{e})^n

这就证明了斯特林公式。

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