阶乘、奇数偶数阶乘的相关公式和斯特林公式的证明

2019-10-14 本文已影响0人壮志_凌云

一、伽玛函数

伽玛函数的定义： $\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$ ，其中， $\Gamma(1) = 1$ 。当 $x > 1$ 时，则有：

$\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt = t^x e^{-t} \bigg|_0^{\infty} - \int_0^{\infty} t[(x-1) t^{x-2} e^{-t} - t^{x-1} e^{-t}] dt = (1-x) \Gamma(x) + \Gamma(x+1)$

$\Gamma(x+1) = \int_0^{\infty} t^x e^{-t} dt = -t^x e^{-t} \bigg|_0^{\infty} + x \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt = x \Gamma(x)$

可以得出，若 $n \in N$ ，则有： $\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n) = n*(n-1) \Gamma(n-1) = \dots = n!$

二、正弦幂的积分函数和沃利斯公式

设 $I(x) = \int_0^{ \frac{\pi}{2} } (sint)^x dt$ ，其中，函数单调递减， $I(0) = \frac{\pi}{2}, I(1) = 1$ 。当 $x \geq 2$ 时，有 $I(x)$ 的递推公式：

$I(x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (sint)^x dt = -cost (sint)^{x-1} \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} + (x-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} (cost)^2 (sint)^{x-2} dt$

$\implies I(x) = (x-1) (I(x-2) - I(x))$

$\implies I(x) = \frac{x - 1}{x} I(x-2)$

可以得出，若 $n \in N$ ，则有： $I(n) = \frac{(n-1)!!}{n!!} I(n \ mod \ 2)$ ，有此可推出：

$I(2n + 1) < I(2n) < I(2n - 1)$

$\implies \frac{(2n)!!}{(2n + 1)!!} < \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{\pi}{2} < \frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}$

$\implies 1 < (\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!})^2 (2n+1) \frac{\pi}{2} < \frac{2n+1}{2n}$

$\implies \frac{2n}{2n+1} \frac{\pi}{2} < (\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!})^2 \frac{1}{2n+1} < \frac{\pi}{2}$

$\implies \lim_{n \to \infty} (\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!})^2 \frac{1}{2n+1} = \frac{\pi}{2}$

$\implies \lim_{n \to \infty} (\frac{(2n)!!(2n)!!}{(2n)!})^2 \frac{1}{2n+1} = \frac{\pi}{2}$

$\implies \lim_{n \to \infty} (\frac{2^{2n} n! n!}{(2n)!})^2 \frac{1}{2n+1} = \frac{\pi}{2}$

这就推导出了沃利斯公式。

三、斯特林公式

斯特林公式是 $n!$ 的近似值， $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2n \pi} (\frac{n}{e})^n} = 1$ ，下面来证明此结论。

参考上图，数列 $A_n$ 表示曲线 $lnx, 1 \leq x \leq n$ 与 $x$ 轴之间的区域面积，则：

$A_n = \int_{1}^{n} lnx dx = lnn^n - n + 1$

数列 $B_n$ 表示 $A_n$ 的不足近似。它是将点 $(1, 0),(2, ln2),\dots,(n, ln)$ 通过直线连接，计算折线与 $x$ 轴之间由 $n-1$ 个梯形组成的区域的面积得到，则：

$B_n = \frac{1}{2}ln1 + ln2 + ln3 + \dots + ln(n-1) + ln\sqrt{n} = lnn! - ln\sqrt{n}$

数列 $C_n$ 表示 $A_n$ 的过剩近似。它是先做点 $(k, lnk)，2 \leq k \leq n-1$ 的切线，然后可以得到由切线和三条直线 $x = k - 1/2, y = 0, x = k + 1/2$ 围成的 $n-2$ 个梯形。这些梯形的面积，加上三角形 $(1, 0);(3/2,0);(3/2, 1/2)$ 的面积，再加上矩形 $(n-1/2,0);(n,0);(n, ln);(n-1/2,ln)$ 的面积得到，则：

$C_n = \frac{1}{8} + ln2 + ln3 + \dots + ln(n-1) + ln\sqrt{n}$

$B_n < A_n < C_n \implies 0 < A_n - B_n < C_n - B_n$

$\implies 0 < lnn^n - n + 1 - lnn! + ln\sqrt{n} < \frac{1}{8}$

设数列 $D_n = lnn^n - n + 1 - lnn! + ln\sqrt{n}$ ，由于 $D_n$ 单调递增且有界，故 $D_n$ 必有极限，且可得到 $n!$ 的表达式：

$n! = \sqrt{n} (\frac{n}{e})^n E_n, E_n = e^{1 - D_n}$ ，其中 $E_n$ 必有极限；

将 $n!$ 的表达式带入沃利斯公式可得：

$\lim_{n \to \infty} (\frac{2^{2n} E_n^2 (\frac{n}{e})^{2n} n}{E_{2n} (\frac{2n}{e})^{2n} \sqrt{2n}})^2 \frac{1}{2n+1} = (\lim_{x \to \infty} E_n)^2 \lim_{x \to \infty} \frac{n}{2(2n+1)}= \frac{\pi}{2}$

$\implies \lim_{x \to \infty} E_n = \sqrt{2 \pi}$

$\implies \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2n \pi} (\frac{n}{e})^n} = 1$

$\implies n! \approx \sqrt{2n \pi} (\frac{n}{e})^n$

这就证明了斯特林公式。

阶乘、奇数偶数阶乘的相关公式和斯特林公式的证明

一、伽玛函数

二、正弦幂的积分函数和沃利斯公式

三、斯特林公式

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