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线段树

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• 实现问题：常用于求数组区间最小值
• 时间复杂度：(1).建树复杂度：nlogn。(2).线段树算法复杂度：logn

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什么是线段树？

• 叶子节点是原始组数arr中的元素
• 非叶子节点代表它的所有子孙叶子节点所在区间的最小值
  例如：数组[2, 5, 1, 4, 9, 3]可以构造如下的二叉树（背景为白色表示叶子节点，非叶子节点的值是其对应数组区间内的最小值，例如根节点表示数组区间arr[0...5]内的最小值是1）。

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线段树的创建

• 实现原理：定义包含n个节点的线段树 SegTreeNode segTree[n]，segTree[0]表示根节点。那么对于节点segTree[i]，它的左孩子是segTree[2i+1],右孩子是segTree[2i+2]。

const int MAXNUM = 1000;
struct SegTreeNode
{
    int val;
}segTree[MAXNUM];//定义线段树

/*
功能：构建线段树
root：当前线段树的根节点下标
arr: 用来构造线段树的数组
istart：数组的起始位置
iend：数组的结束位置
*/
void build(int root, int arr[], int istart, int iend)
{
    if(istart == iend)//叶子节点
        segTree[root].val = arr[istart];
    else
    {
        int mid = (istart + iend) / 2;
        build(root*2+1, arr, istart, mid);//递归构造左子树
        build(root*2+2, arr, mid+1, iend);//递归构造右子树
        //根据左右子树根节点的值，更新当前根节点的值
        segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);
    }
}

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线段树的查询

• 已经构建好了线段树，那么怎样在它上面超找某个区间的最小值呢？查询的思想是选出一些区间，使他们相连后恰好涵盖整个查询区间，因此线段树适合解决相邻的区间的信息可以被合并成两个区间的并区间的信息的问题。代码如下，具体见代码解

/*
功能：线段树的区间查询
root：当前线段树的根节点下标
[nstart, nend]: 当前节点所表示的区间
[qstart, qend]: 此次查询的区间
*/
int query(int root, int nstart, int nend, int qstart, int qend)
{
    //查询区间和当前节点区间没有交集
    if(qstart > nend || qend < nstart)
        return INFINITE;
    //当前节点区间包含在查询区间内
    if(qstart <= nstart && qend >= nend)
        return segTree[root].val;
    //分别从左右子树查询，返回两者查询结果的较小值
    int mid = (nstart + nend) / 2;
    return min(query(root*2+1, nstart, mid, qstart, qend),
               query(root*2+2, mid + 1, nend, qstart, qend));

}

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单节点更新

• 单节点更新是指只更新线段树的某个叶子节点的值，但是更新叶子节点会对其父节点的值产生影响，因此更新子节点后，要回溯更新其父节点的值。

/*
功能：更新线段树中某个叶子节点的值
root：当前线段树的根节点下标
[nstart, nend]: 当前节点所表示的区间
index: 待更新节点在原始数组arr中的下标
addVal: 更新的值（原来的值加上addVal）
*/
void updateOne(int root, int nstart, int nend, int index, int addVal)
{
    if(nstart == nend)
    {
        if(index == nstart)//找到了相应的节点，更新之
            segTree[root].val += addVal;
        return;
    }
    int mid = (nstart + nend) / 2;
    if(index <= mid)//在左子树中更新
        updateOne(root*2+1, nstart, mid, index, addVal);
    else updateOne(root*2+2, mid+1, nend, index, addVal);//在右子树中更新
    //根据左右子树的值回溯更新当前节点的值
    segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);
}

区间更新

• 区间更新是指更新某个区间内的叶子节点的值，因为涉及到的叶子节点不止一个，而叶子节点会影响其相应的非叶父节点，那么回溯需要更新的非叶子节点也会有很多，如果一次性更新完，操作的时间复杂度肯定不是O(lgn)，例如当我们要更新区间[0,3]内的叶子节点时，需要更新出了叶子节点3,9外的所有其他节点。为此引入了线段树中的延迟标记概念，这也是线段树的精华所在。

const int INFINITE = INT_MAX;
const int MAXNUM = 1000;
struct SegTreeNode
{
    int val;
    int addMark;//延迟标记
}segTree[MAXNUM];//定义线段树

/*
功能：构建线段树
root：当前线段树的根节点下标
arr: 用来构造线段树的数组
istart：数组的起始位置
iend：数组的结束位置
*/
void build(int root, int arr[], int istart, int iend)
{
    segTree[root].addMark = 0;//----设置标延迟记域
    if(istart == iend)//叶子节点
        segTree[root].val = arr[istart];
    else
    {
        int mid = (istart + iend) / 2;
        build(root*2+1, arr, istart, mid);//递归构造左子树
        build(root*2+2, arr, mid+1, iend);//递归构造右子树
        //根据左右子树根节点的值，更新当前根节点的值
        segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);
    }
}

/*
功能：当前节点的标志域向孩子节点传递
root: 当前线段树的根节点下标
*/
void pushDown(int root)
{
    if(segTree[root].addMark != 0)
    {
        //设置左右孩子节点的标志域，因为孩子节点可能被多次延迟标记又没有向下传递
        //所以是 “+=”
        segTree[root*2+1].addMark += segTree[root].addMark;
        segTree[root*2+2].addMark += segTree[root].addMark;
        //根据标志域设置孩子节点的值。因为我们是求区间最小值，因此当区间内每个元
        //素加上一个值时，区间的最小值也加上这个值
        segTree[root*2+1].val += segTree[root].addMark;
        segTree[root*2+2].val += segTree[root].addMark;
        //传递后，当前节点标记域清空
        segTree[root].addMark = 0;
    }
}

/*
功能：线段树的区间查询
root：当前线段树的根节点下标
[nstart, nend]: 当前节点所表示的区间
[qstart, qend]: 此次查询的区间
*/
int query(int root, int nstart, int nend, int qstart, int qend)
{
    //查询区间和当前节点区间没有交集
    if(qstart > nend || qend < nstart)
        return INFINITE;
    //当前节点区间包含在查询区间内
    if(qstart <= nstart && qend >= nend)
        return segTree[root].val;
    //分别从左右子树查询，返回两者查询结果的较小值
    pushDown(root); //----延迟标志域向下传递
    int mid = (nstart + nend) / 2;
    return min(query(root*2+1, nstart, mid, qstart, qend),
               query(root*2+2, mid + 1, nend, qstart, qend));

}

/*
功能：更新线段树中某个区间内叶子节点的值
root：当前线段树的根节点下标
[nstart, nend]: 当前节点所表示的区间
[ustart, uend]: 待更新的区间
addVal: 更新的值（原来的值加上addVal）
*/
void update(int root, int nstart, int nend, int ustart, int uend, int addVal)
{
    //更新区间和当前节点区间没有交集
    if(ustart > nend || uend < nstart)
        return ;
    //当前节点区间包含在更新区间内
    if(ustart <= nstart && uend >= nend)
    {
        segTree[root].addMark += addVal;
        segTree[root].val += addVal;
        return ;
    }
    pushDown(root); //延迟标记向下传递
    //更新左右孩子节点
    int mid = (nstart + nend) / 2;
    update(root*2+1, nstart, mid, ustart, uend, addVal);
    update(root*2+2, mid+1, nend, ustart, uend, addVal);
    //根据左右子树的值回溯更新当前节点的值
    segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);
}

未完待续

by @Chicago_01