牛顿对于微积分的证明

2019-02-10 本文已影响0人 haozhan

Chapter 1:牛顿的证明

牛顿在1665～1666年利用流数术（fluxion）来对微积分理论进行证明，该证明利用到了二项式定理（Binomial theorem），并因为其对流数的引用，早到了贝克莱（George Berkeley）的批评。证明过程如下：

如图所示，现有一非常值函数:
$\left(1.1\right): y=f\left(x\right)=ax^{\frac{m}{n}}$
$f\left(A\right)$ 与X轴构成的面积 $S_{0Ay}$ 为 $Z\left(x\right)$ ，则根据微积分知识，我们可知：
$\left(1.2\right):Z\left(x\right)=\int_{0}^{A} f\left(x\right)\, dx=\frac{an}{m+n}X^{\frac{m+n}{n}}$
而牛则是从 $Z\left(x\right)$ 的结果出发，逆推出 $f\left(x\right)$ ，从而证明微积分算法。

Fig.1 证明用图

需要通过（2）来证明（1），即在已知（2）的情况下推导出（1）。

首先构造矩形 $AA^{\prime}HK$ ,其中 $o=A^{\prime}-A$ （这个 $o$ 就被称为流数），使得 $\int_{A}^{A{\prime}} f\left(x\right)\, dx=S_{AA^{\prime}HK}$ 。

根据（2）则有：
$\left(1.3\right):\int_{0}^{A{\prime}} f\left(x\right)\, dx=Z\left(x+o\right)=Z\left(x\right)+S_{AA^{\prime}HK}$

令 $V=f\left(A^\prime\right)$ 则有，
$\left(1.4\right):S_{AA^{\prime}HK}=oV$

根据（3），（4）有，
$Z\left(x+o\right)=Z\left(x\right)+S_{AA^{\prime}HK}$

$\left(1.5\right):\frac{an}{m+n}{\left(X+o\right)}^{\frac{m+n}{n}}=Z\left(x\right)+oV$

在（5）两边同时取 $n$ 次方，
$\left(1.6\right):{\left(\frac{an}{m+n}\right)}^n{\left(X+o\right)}^{m+n}={\left(Z\left(x\right)+oV\right)}^n$

利用二项式公式，展开（6），

$\left(1.7\right):{\left(\frac{an}{m+n}\right)}^n\left[ C^{0}_{m+n}X^{m+n}+ C^{1}_{m+n}X^{m+n-1}o+C^{2}_{m+n}X^{m+n-2}o^2+..\right]=C^{0}_{n}{Z\left(x\right)}^n+C^{1}_{n}{Z\left(x\right)}^{n-1}oV+C^{2}_{n}{Z\left(x\right)}^{n-2}{\left(oV\right)}^2+..$

由于，
${\left(\frac{an}{m+n}\right)}^n\left(C^{0}_{m+n}X^{m+n}\right)=C^{0}_{n}{Z\left(x\right)}^n$

同时约去，得，

$\left(1.8\right):C^{1}_{m+n}X^{m+n-1}o+C^{2}_{m+n}X^{m+n-2}o^2+..=C^{1}_{n}{Z\left(x\right)}^{n-1}oV+C^{2}_{n}{Z\left(x\right)}^{n-2}{\left(oV\right)}^2+..$