从结构构造看环的素谱

spec R，素谱体现了一种更加细致的映射，也就是层的概念。

什么叫做层呢？层是一个函子定义出的结构，对于拓扑空间，将其拓扑，也就是开集族视为定义域，交换群范畴视为值域，构造出开集到交换群的映射。这种构造非常的高级，可以提供大量的信息，一个开集到另一个开集的映射可以自然诱导出一个交换群到另一个交换群的映射。

这样的思想是不是有点眼熟呢，对于同调群而言，链复形和同调群序列，n维复形和n维同调群，似乎也具有这样的结构，只是层要更加的一般化。

其实，结构太过一般的话，也不合适，因为很难找到有趣的例子，对于性质很好的结构，层就体现不出优越性，很多东西直接退化掉了，对于性质合适的结构，才会体现出这种描述的优越性，相比于过去的描述方式，更加直接，简洁。所以，这个层面向的必然是非常抽象的，性质不太好的结构。

素谱，按定义上讲，是一个环的素理想的集合，其实也就是环集合的特殊子集族，这和拓扑其实就很相似。在素谱上定义函数，无论是映射到数域，抽象结构，还是别的什么，其实和层的构造差不多。他们都是面向高度抽象的结构，这种抽象性是由研究内容的复杂性导致的，对于满足多项式方程的解集，往往不是点，而是某种空间，但是为了简单起见，需要将空间视为点，那么这个点就必须具有额外结构，才能保留足够的原始信息。素理想本身视为点，但是显然不是点，他具有理想结构，所以素理想映射过去的点，也需要具有额外结构。

这就让我想起了射影空间的东西，射影空间处理的就是各种子空间，不是单点，所以显得非常抽象，还有算子代数的东西，算子函数也是非常复杂的东西。不过，这种复杂性最开始也就是带基点的拓扑空间范畴的程度，对空间内单点的额外要求。只是现在被拓展为对空间内所有点的额外要求，这样看的话，代数结构的同态本身就可以推广为层，不过显然是退化的。

所以，可以给出一个观点，层是二阶映射结构的完全描述，一阶结构对应点映射，二阶结构对应子集族映射，给定所有的点映射，可以构造出子集族映射，给定所有的子集族映射也可以给出点映射，是否能够实现完全转化，可能需要一些条件。自然的，可以定义出三阶结构，乃至n阶结构，这和高阶范畴的区别在于高阶范畴是形式化的，层是具体化的，中间具有沟壑，了解一般原理，不代表可以在具体事物上实现这种原理，缺少了实践。

从这样的角度来看的话，素谱就没有那么抽象了，可惜看的各种书籍中似乎都是围绕各种经典结果而编写的，对于这种基本构造的解释并不多见，即使通过抄书，重写证明，仍感觉隔着一层迷雾，不能称为彻底理解，完全无法离开定理，标准例子而自由展开探索，学了跟没学一个样。现在，经过这一番思考和类比，似乎把握住了更加关键的点。不过，还需要进行一番整理，虽然形式上可能会变得繁琐而冗长，理解上可能会轻松一些。

数学书就是这点不好，数十年的发展历史直接被教材压缩掉，给出了最完美的表示形式，一个人再怎么聪明，也难以立刻接受如此不自然的东西。所以每上升一层，就会刷下来一大批人。所以掌握各种基本代数构造还是非常重要的，积，商，等价关系，还原出结构的最初构造，然后逐步精简，变成完美的表示。

这种台阶在学习的过程中遇见了好几次，一个是张量，坐标卡，一个是对偶空间，一个是同调群，正合列。回想起来，即使答案给出来了，往往也意识不到这就是答案，仍需要自行领悟，最后豁然开朗，看来还是讲究悟性的，不过也能以力破巧，抛弃简洁表示不用，就使用最笨的可以理解的方式去硬算几个东西，然后找出可简化的地方，使用抽象符号简化，微分几何中的指标表示法就是用这种方法弄懂的，取巧，经验都不好使，这就是简化计算时必然要使用的表示法。