算法之堆算法

堆的定义如下：
　　n个元素的序列{k0,k1,...,ki,…,k(n-1)}当且仅当满足下关系时，称之为堆。
　　" ki<=k2i,ki<=k2i+1;或ki>=k2i,ki>=k2i+1.（i=1,2,…,[n/2])"
　　若将和此次序列对应的一维数组（即以一维数组作此序列的存储结构）看成是一个完全二叉树，

则完全二叉树中每一个节点的值的都大于或等于任意一个字节的值（如果有的话），称之为大顶堆。

则完全二叉树中每一个节点的值的都小于或等于任意一个字节的值（如果有的话），称之为小顶堆。

由此，若序列{k0,k1,…,k(n-1)}是堆，则堆顶元素（或完全二叉树的根）必为序列中n个元素的最小值（或最大值）。

倘若给堆中每一个节点都赋予一个整数值标签，根节点被标记为0，对于每一个标记为i的节点，其左子节点（若存在的话）被标记为2i+1，其右子节点（若存在的话）被标记为2i+2，对于一个标记为i的非根节点，其父节点被标记为（i-1）/2。使用这个标记，我们能够将堆存储在数组中，节点存储在数据中的位置就使其标签。

public class HeapSorter {
    public static void heapSort(int[] array){
        buildHeap(array);//构建堆
        int n = array.length;
        int i=0;
        for(i=n-1;i>=1;i--){
            swap(array,0,i);
            heapify(array,0,i);
            }
    }
    
    public static void buildHeap(int[] array){
        int n = array.length;//数组中元素的个数
        for(int i=n/2-1;i>=0;i--)
            heapify(array,i,n);
            
    }
    public static void heapify(int[] A,int idx,int max){
        int left = 2*idx+1;// 左孩子的下标（如果存在的话）
        int right =2*idx+2;// 左孩子的下标（如果存在的话）
        int largest = 0;//寻找3个节点中最大值节点的下标
        if(left<max && A[left]>A[idx])
            largest = left;
        else
            largest = idx;
        if(right<max && A[right]>A[largest])
            largest = right;
        if(largest!=idx){
            swap(A,largest,idx);
            heapify(A,largest,max);            
            }    

            
        
    }
    public static void swap(int[] array,int i,int j){
        int temp =0;
        temp=array[i];
        array[i]=array[j];
        array[j]=temp;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] a = {1,2,3,4,5,6,7,16,9,10,11,12,13,14,15,8};
        System.out.println("排序前..........................");
        for(int i=0;i<a.length;i++)
            System.out.println(a[i]);
        
        heapSort(a);
        
        System.out.println("排序后..........................");
        for(int i=0;i<a.length;i++)
            System.out.println(a[i]);
    }

}

完全二叉树：只有最下面的两层结点度能够小于2，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树
若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。
完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。
一棵二叉树至多只有最下面的一层上的结点的度数可以小于2，并且最下层上的结点都集中在该层最左边的若干位置上，则此二叉树成为完全二叉树。