高等数学：函数与极限题选(1)

2018-11-16 本文已影响35人溺于恐

1.证明下列函数在指定区间内的单调性：

$(1)y={x\over 1-x},\quad(-\infty,1);$

$(2)y=x+lnx,\quad(0,+\infty)$

证：

$(1)y={x\over 1-x}=-1+{1\over 1-x}\quad(-\infty,1)$

$\because {1\over 1-x}在(-\infty,1)上单调递增$

$\therefore y在(-\infty,1)上单调递增$

$(2)y=x+lnx$

$\because x在(0,+\infty)上单调递增$

$lnx在(0,+\infty)上单调递增$

$\therefore y在(0,+\infty)上单调递增$

2.求 $y=sin^2x$ 的周期

解：

$y=sin^2x={1-cos2x\over 2},周期T={2\pi\over 2}=\pi$

3.设f(x)的定义域D=[0,1],求f(x+a)+f(x-a) $(a\gt 0)$ 的定义域

解：

$\begin{cases}0\le x+a\le 1\\ 0\le x-a\le 1\end{cases}$

$①当a\gt {1\over 2}时,方程组无解$

$即f(x+a)+f(x-a)的定义域为\emptyset$

$②当0\lt a\le {1\over 2}时,解得a\le a\le 1-a$

$即f(x+a)+f(x-a)的定义域为[a,1-a]$

4.已知 $Rt\triangle ABC$ 中,直角边AC、BC的长度分别为20、15,动点P从C出发,沿三角形边界按 $C\rightarrow B\rightarrow A$ 方向移动,动点Q从C出发,沿三角形边界按 $C\rightarrow A\rightarrow B$ 方向移动,移动到两动点相遇为止,且Q移动的速度是P移动的速度的2倍,设P移动的距离为x, $\triangle CPQ$ 的面积为y,求y与x之间的函数关系

解：

$\because |AC|=20,|BC|=15$

$\therefore |AB|=\sqrt{20^2+15^2}=25$

$P与Q相遇时,x+2x=20+15+25$

$解得x=20$

$\therefore 定义域为[0,20]$

$(1)当0\le x\lt 10时,|CP|=x,|CQ|=2x$

$\therefore y=x^2$

$(2)当10\le x\le 15时,|CP|=x,|AQ|+20=2x$

$\because \triangle ACB \sim \triangle QDB$

$\therefore {|QD|\over 20}={|BQ|\over 25}={45-2x\over 25}$

$\therefore |QD|={4\over 5}(45-2x)$

$\therefore y={1\over 2}x|QD|=-{4\over 5}x^2+18x$

$(3)当15\lt x\le 20时,|BP|+15=x,|AQ|+20=2x,$

$|PQ|=60-3x,{|CE|\over |BC|}={|AC|\over |AB|}$

$\therefore |CE|={|AC|\over |AB|}|BC|=12$

$\therefore y={1\over 2}|PQ||CE|=-18x+360$

$综上所述$

$y=\begin{cases}x^2\quad 0\le x\lt 10\\ -{4\over 5}x^2+18x\quad 10\le x\le 15\\ -18x+360\quad 15\lt x\le 20\end{cases}$

5.下列关于数列 ${x_n}$ 的极限是a的定义,哪些是对的,哪些是错的?若是对的,说明理由,若是错的,给出一个反例

(1)对于任意给定的 $\varepsilon \gt 0$ ,存在 $N\in N_+$ ,当 $n\gt N$ 时,不等式 $x_n-a\lt \varepsilon$ 成立

(2)对于任意给定的 $\varepsilon \gt 0$ ,存在 $N\in N_+$ ,当 $n\gt N$ 时,有无穷多项 $x_n$ 使不等式 $|x_n-a|\lt \varepsilon$ 成立

(3)对于任意给定的 $\varepsilon \gt 0$ ,存在 $N\in N_+$ ,当 $n\gt N$ 时,不等式 $|x_n-a|\lt c\varepsilon$ 成立,其中c为某个正常数

(4)对于任意给定的 $m\in N_+$ ,存在 $N\in N_+$ ,当 $n\gt N$ 时,不等式 $|x_n-a|\lt {1\over m}$ 成立

解：

$(1) 错误$

$数列\{(-1)^n+{1\over n}\},取a=1$

$\forall \varepsilon\in (0,1),\exists N=[{1\over \varepsilon}]$

$当n\gt N时,有x_n-a=(-1)^n+{1\over n}-1\le {1\over n}\lt \varepsilon$

$但\{(-1)^n+{1\over n}\}的极限不存在$

$(2)错误$

$数列x_n=\begin{cases}3n\quad 当n=2k-1\\ 1-{1\over 4n}\quad 当n=2k\end{cases}k\in N_+,a=1$

$\forall \varepsilon \gt 0(设\varepsilon \lt {1\over 2}),\exists N=[{1\over \varepsilon}]$

$当n\gt N且n为偶数时,有|x_n-a|={1\over 4n}\lt {1\over n}\lt \varepsilon$

$但\{x_n\}的极限不存在$

$(3)正确$

$\forall \varepsilon \gt 0,取{1\over c}\varepsilon \gt 0,\exists N\in N_+$

$当n\gt N时,有|x_n-a|\lt c\dot{1\over c}\varepsilon=\varepsilon$

$(4)正确$

$\forall \varepsilon \gt 0,取m\in N_+,使{1\over m}\lt \varepsilon$

$\exists N\in N_+,当n\gt N时,有|x_n-a|\lt a{1\over m}\lt \varepsilon$

6.根据数列极限的定义证明：

$(1)\lim_{n\to \infty} {3n+1\over 2n+1}={3\over 2}$

$(2)\lim_{n\to \infty} 0.\underbrace{999\cdots 9}_{n个}=1$

证明：

$(1)|{3n+1\over 2n+1}-{3\over 2}|=|{6n+2-6n-3\over 2(2n+1)}\lt {1\over 2n+1}\lt{1\over n}$

$要使|{3n+1\over 2n+1}-{3\over 2}|\lt \varepsilon$

$只需{1\over n}\lt \varepsilon,即n\gt \varepsilon$

$\therefore \forall \varepsilon \gt 0,取N=[{1\over \varepsilon}]$

$当n\gt N时,有|{3n+1\over 2n+1}-{3\over 2}|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim_{n\to \infty} {3n+1\over 2n+1}={3\over 2}$

$(2)|0.\underbrace{999\cdots 9}_{n个}-1|={1\over 10^n}$

$要使|0.\underbrace{999\cdots 9}_{n个}-1|\lt \varepsilon$

$只需{1\over 10^n}\lt \varepsilon,即n\gt lg{1\over \varepsilon}$

$\therefore \forall \varepsilon \gt 0(\varepsilon \lt 1),取N=[lg{1\over \varepsilon}]$

$当n\gt N时,有|0.\underbrace{999\cdots 9}_{n个}-1|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim_{n\to \infty} 0.\underbrace{999\cdots 9}_{n个}=1$

7.设数列 $\{x_n\}$ 有界, $\lim_{n\to \infty}y_n=0$ ,证明： $\lim_{n\to \infty}x_ny_n=0$

证：

$\because \{x_n\}有界$

$\therefore \forall n,\exists M\gt 0,使|x_n|\le M$

$\because \lim_{n\to \infty}y_n=0$

$\therefore \forall \varepsilon \gt 0,\exists N_0\gt 0$

$当n\gt N_0时,|y_n|\lt \varepsilon$

$\therefore 对上述\varepsilon \gt 0 \exists N=N_0,当n\gt N时,$

$|x_ny_n-0|\le M|y_n|\lt M\varepsilon$

$\therefore \lim_{n\to \infty}x_ny_n=0$

8.对于数列 $\{x_n\}$ ,若 $x_{2k-1}\to a(k\to \infty),x_{2k}\to a(k\to \infty)$ ,证明： $x_n\to a(n\to \infty)$

证：

$\because \lim_{k\to \infty}x_{2k-1}=a$

$\therefore \forall \varepsilon \gt 0,\exists N_1\gt 0$

$当2k-1\gt N_1时,|x_{2k-1}-a|\lt \varepsilon$

$\because \lim_{k\to \infty}x_{2k}=a$

$\therefore 对上述\varepsilon \gt 0,\exists N_2\gt 0$

$当2k\gt N_2时,|x_{2k}-a|\lt \varepsilon$

$\therefore 对上述\varepsilon \gt 0,取N=max\{N_1,N_2\}$

$当n\gt N时,|x_n-a|\lt \varepsilon$

$\therefore x_n\to a(n\to \infty)$

高等数学：函数与极限题选(1)

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