图形学笔记二 正交矩阵、转置矩阵和旋转
参考课程P4：
https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744?p=4
一、正交矩阵和转置矩阵
1.对称矩阵
对称矩阵（Symmetric Matrix）是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵，例如：
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可以看到，对称矩阵的转置等于其自身
2.对角矩阵
对角矩阵（Diagonal Matrix）是指除主对角线之外其他元素都为0的矩阵，例如：
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3.三角矩阵
三角矩阵（Triangular Matrix）分为上三角矩阵和下三角矩阵。
上三角矩阵（Upper Triangular Matrix）是指主对角线以下元素全为0的矩阵，如：
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下三角矩阵（Lower Triangular Matrix）是指主对角线以上元素全为0的矩阵，如：
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可以看到，对角矩阵一定是三角矩阵。
4.参考正交矩阵
正交矩阵是指其转置等于逆的矩阵
正交：可以简单理解成就是垂直.
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对于正交矩阵，组成它的列向量 构成了一个空间的基，称之为：规范正交基。 而我们知道：对于一个空间而言，我们是可以找到很多个不同的基来表示的(参考相似矩阵的基底变换)，那对于一个空间：假设已知的基底是非规范正交基，有什么办法获取到它的规范正交基呢？【施密特正交法】。
以三维空间为例，我们希望正交矩阵是：
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但是实际上他很可能是下边这个样子：
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亦即以z轴为中心逆时针旋转了45°， 此时向量a,b,c依然相互正交，但是其列向量并不都在标准轴上.而对角化的结果是一个对角矩阵，本质就是把矩阵列向量都放到标准轴上。 那么很显然：正交矩阵一定可以做到！
参考为何正交矩阵一定可以对角化?
正交矩阵是一个在三维坐标系中歪着摆的立方体。对角化就是把这个立方体摆正来（也就是让它某一个顶点放在原点上，同时这个顶点的三条边正好对在三维坐标系的xyz三条轴上）。所以这个定理的意思就是，任何歪着摆的立方体劳资都能把它摆正了。这定理还是蛮直观的。
所以结论就是：凡是正交矩阵一定可以对角化！
5.转置矩阵
将矩阵的行列互换得到的新矩阵称为转置矩阵，转置矩阵的行列式不变。
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转置矩阵：
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如果N阶方阵和它的转置相等，则称为对称矩阵。
转置矩阵，在3Blue1Brown的线代视频中没有深入介绍，在此直接关注如何应用即可。
5.在P4的开头，闫大佬提到了正交矩阵和转置矩阵
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写出旋转θ和旋转负θ的矩阵，会发现旋转负θ，等于旋转θ的转置，这是正交矩阵的性质。通常求逆矩阵是很费性能的，而求转置矩阵则非常简单。
二、3d transformations
1.平移和缩放比较简单
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2.旋转，这里视频讲的有点快，我描述一下自己的理解
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这里使用右手法则，以绕X轴旋转为例，仍然使用3Blue1Brown的思路，去看i帽、j帽、k帽的基坐标变换：
显然，绕x旋转时，x方向的基向量不变，即竖着的(1,0,0)，然后就是y和z轴：
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显然，y变成了(0,cos α,sin α)
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显然，z变成了(0,-sinα,cosα)
所以，绕x轴旋转的线性变换就是：
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绕y轴时，我们可以看成有一个xz轴的平面在旋转，如图，x轴旋转到其左上方的红轴，变成(cos α,0,-sin a),z变成了(sin α,0, cos α)
图画得有点难看……
绕z旋转同理，就不画了。
3.罗德里格旋转公式（Rodrigues' rotation formula）
视频很快就开始讲这个公式，然后我没有听懂，还是自己搜索一下吧。首先是百度百科，给了这个公式的定义：
向量旋转公式最早由法国数学家本杰明·奥伦德·罗德里格(Benjamin Olinde Rodrigues(1795–1851))导出，后来被应用在很多领域。设v是一个三维空间向量，k是旋转轴的单位向量，则v在右手螺旋定则意义下绕旋转轴k旋转角度θ得到的向量可以由三个不共面的向量v, k和k×v构成的标架表示：
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然后B站视频有个公式推导，有了前面的线代基础，可以直接看P2：https://www.bilibili.com/video/BV1yW41177Y8?p=2
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视频首先讲了绕Z轴的旋转，此时定义k向量与Z轴平行，V向量与X轴平行，然后旋转了θ，跑到了v rot位置。如图的公式很容易理解，后半部分的kv点乘其实就是右手法则(四根手指指向K之后向V弯曲，拇指的方向正是Y)下的Y坐标轴，再乘以sina θ，就是旋转后的向量在Y轴的投影即Y坐标值。
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百度百科用的是这张图
这里作者的思路就是，先把v分解成向上的向量和向左的向量。向左的向量经过旋转后，再加上向上的向量，就会组合成目标向量v rot。
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这里上图打问号的部分，应该是作者搞错了。其实垂直分量的投影很容易理解，用v去点乘k，得到的是一个标量，即在k方向的投影向量的长度，为了表示这个投影向量，还需要指明它的方向，再乘以一个k单位向量即可：
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然后就是求v垂直分量，这里用了向量的加法，等号两边换一下，就是v-v垂直分量。
然后就是用上面那个公式，利用v垂直分量，求出相应的v垂直分量root。（v垂直分量root，这里不方便打出公式，用文字描述有点繁琐了，就是上图中最后一行的写法……）
现在把上述结果合并后，提取公因式化简即可得到：
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然后就是证明如上图中方框内的两个东西是相等的，根据右手定则能看出方向是一致的。而大小呢，截图中漏写的，已经在红圈处补出来，它的值正是上面式子中的|v| sin<k,v>。
在P3中，作者推导了矩阵表示，即vrot = R v，那个矩阵R是什么？这里没细看，直接放结论了：
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