变限积分函数的求导

2019-10-12 本文已影响0人羽墨志

一、定义

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，设 $x$ 为区间 $[a,b]$ 上的一点，考察定积分
$\int _a^xf(x)dx=\int _a^xf(t)dt$
如果上限 $x$ 在区间 $[a,b]$ 上任意变动，则对于每一个取定的 $x$ 值，定积分 $\int _a^xf(t)dt$ 都有一个对应值，所以它在区间 $[a,,b]$ 上定义了一个函数，记为
$\Phi(x)=\int _a^xf(t)dt$
该函数就是积分上限函数。

二、变限积分函数求导公式

如果函数 $f(x)$ 连续， $\phi(x)$ 和 $\varphi(x)$ 可导，那么变限积分函数的求导公式可表示为
$\Phi'(x)=\frac{d}{dx}\int_{\phi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt=f[\varphi(x)]\varphi'(x)-f[\phi(x)]\phi'(x)$
[推导过程]
记函数 $f(x)$ 的原函数为 $F(x)$ ，则有
$F'(x)=f(x)$
或
$\int f(x)dx=F(x)+C$
则对 $\Phi(x)$ 运用牛顿-莱布尼茨公式 $\int_a^bf(x)=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$ 可得
$\Phi(x)=\int_{\phi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt=F(x)|_{\phi(x)}^{\varphi(x)}=F[\varphi(x)]-F[\phi(x)]$
由函数和的求导法则
$[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)$
可得
$\Phi^{'}(x)=\frac{d}{dx}\int_{\phi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt=\{F[\varphi(x)]-F[\phi(x)]\}'=\{F[\varphi(x)]\}'-\{F[\phi(x)]\}'$
由复合函数的求导法则
$\{f[g(x)]\}'=f'[g(x)]g'(x)$
可得
$\Phi^{'}(x)=\{F[\varphi(x)]\}'-\{F[\phi(x)]\}'=F'[\varphi(x)]\varphi'(x)-F'[\phi(x)]\phi'(x)$
由(2)式 $F'(x)=f(x)$ 可知 $F'[\varphi(x)]=f[\varphi(x)]$ $F'[\phi(x)]=f[\phi(x)]$ ，则(8)式可改写为
$\Phi^{'}(x)=F'[\varphi(x)]\varphi'(x)-F'[\phi(x)]\phi'(x)=f[\varphi(x)]\varphi'(x)-f[\phi(x)]\phi'(x)$

三、定理

定理1 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a，b]$ 上连续，则积分上限函数 $\Phi(x)=\int _a^xf(t)dt$ 在 $[a，b]$ 上具有导数，且导数为：
$\Phi^{'}(x)=\frac{d}{dt}\int _a^xf(t)dt=f(x)$

四、应用

求极限
$\lim_{x \to 0} \frac{\int_x^{2x}e^{t^2}dt}{x}$
令函数 $f(x)=\int_x^{2x}e^{t^2}dt$ ，则函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，运用洛必达法则(L'Hôpital's rule)则有
$\lim_{x \to 0} \frac{\int_x^{2x}e^{t^2}dt}{x}=\lim_{n \to 0} \frac{f'(x)}{x'}=\lim_{n \to 0} f'(x)$
这是一个典型的变限积分函数的求导，根据变限积分函数求导公式(3)可得
$f'(x)=\frac{d}{dx}\int_x^{2x}e^{t^2}dt=e^{(2x)^2}(2x)'-e^{x^2}(x)'=2e^{4x^2}-e^{x^2}$
则有
$\lim_{x \to 0} \frac{\int_x^{2x}e^{t^2}dt}{x}=\lim_{x \to 0}2e^{4x^2}-e^{x^2}=1$

变限积分函数的求导

一、定义

二、变限积分函数求导公式

三、定理

四、应用

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