高考数学真题：立体几何大题

2021-11-08 本文已影响0人易水樵

基于课本题的立体几何大题

基于课本题：2018年文数全国卷C题19（12分）

如图，矩形 $ABCD$ 所在平面与半圆弧 $CD$ 所在平面垂直， $M$ 是 $CD$ 上异于 $C,D$ 的点.

（1）证明∶平面 $AMD \perp$ 平面 $BMC$ ;

（2）在线段 $AM$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $MC$ //平面 $PBD$ ? 说明理由.

2018年文数全国卷C

参考答案：2018年文数全国卷C题19

基于课本题：2018年理数全国卷C题19（12分）

如图，边长为 2 的正方形 $ABCD$ 所在的平面与半圆弧 $CD$ 所在平面垂直， $M$ 是 $CD$ 上异于 $C,D$ 的点.

（1）证明∶平面 $AMD \perp$ 平面 $BMC$ ;

（2）当三棱锥 $M-ABC$ 体积最大时，求面 $MAB$ 与面 $MCD$ 所成二面角的正弦值.

2018年理数全国卷C

参考答案：2018年理数全国卷C题19

常见四面体之一

四面体：2007年文数海南卷题18（12 分）

如图， $A，B，C，D$ 为空间四点，在 $\triangle ABC$ 中， $AB=2，AC=BC=\sqrt{2}$ ，等边三角形 $ADB$ 以 $AB$ 为轴转动.

（Ⅰ）当平面 $ADB \perp$ 平面 $ABC$ 时，求 $CD$ ;

（Ⅱ）当 $\triangle ADB$ 转动时，是否总有 $AB \perp CD$ ? 证明你的结论.

2007年文数海南卷

参考答案：2007年文数海南卷题18

四面体：2004年文数全国卷C题21（12 分）

三棱锥 $P-ABC$ 中，侧面 $PAC$ 与底面 $ABC$ 垂直， $PA=PB=PC=3.$

（Ⅰ）求证 $AB \perp BC$ ;

（Ⅱ）如果 $AB=BC=2 \sqrt{3}$ ，求侧面 $PBC$ 与侧面 $PAC$ 所成二面角的大小.

2004年文数全国卷

参考答案：2004年文科数学全国卷C题21

四面体：2017年文数全国卷C题19（12 分）

如图，四面体 $ABCD$ 中， $\triangle ABC$ 是正三角形， $AD=CD.$

（1）证明： $AC \perp BD$ ；

（2）已知 $\triangle ACD$ 是直角三角形， $AB=BD$ ，若 $E$ 为棱 $BD$ 上与 $D$ 不重合的点，且 $AE \perp EC$ ，求四面体 $ABCE$ 与四面体 $ACDE$ 的体积比.

2017年文数全国卷C

参考答案：2017年文科数学全国卷C题19

四面体：2017年理数全国卷C题19 （12 分）

如图，四面体 $ABCD$ 中， $\triangle ABC$ 是正三角形， $\triangle ACD$ 是直角三角形， $\angle ABD=\angle CBD, AB=BD.$

（1）证明∶平面 $ACD \perp$ 平面 $ABC$ ;

（2）过 $AC$ 的平面交 $BD$ 于点 $E$ ，若平面 $AEC$ 把四面体 $ABCD$ 分成体积相等的两部分，求二面角 $D-AE-C$ 的余弦值.

2017年理数全国卷C

参考答案：2017年理数全国卷C题19

四面体：2018年文数全国卷B题19（12 分）

如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中， $AB=BC=2 \sqrt{2}$ ， $PA=PB=PC=AC=4$ ， $O$ 为 $AC$ 的中点.

（1）证明∶ $PO \perp$ 平面 $ABC$ ;

（2）若点 $M$ 在棱 $BC$ 上，且 $MC=2MB$ ，求点 $C$ 到平面 $POM$ 的距离.

2018年文数全国卷B

参考答案：2017年文数全国卷B题18

四面体：2018年理数全国卷B题20（12 分）

如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中， $AB=BC=2 \sqrt{2}$ ， $PA=PB=PC=AC=4$ ， $O$ 为 $AC$ 的中点.

（1）证明∶ $PO \perp$ 平面 $ABC$ ;

（2）若点 $M$ 在棱 $BC$ 上，且二面角 $M-PA-C$ 为 $30°$ ，求 $PC$ 与平面 $PAM$ 所成角的正弦值.

2018年理数全国卷B

参考答案：2018年理数全国卷B题20

四面体：2011年文数全国卷题18（12 分）

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为平行四边形， $\angle DAB=60°,AB=2 AD$ ， $PD \perp$ 底面 $ABCD.$

（I）证明∶ $PA \perp BD$ ;

（Ⅱ）设 $PD=AD=1$ ，求棱锥 $D-PBC$ 的高.

2011年文数全国卷

参考答案：2011年文科数学全国卷题18

四面体：2011年理数全国卷题18 （12 分）

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为平行四边形， $\angle DAB=60°,AB=2 AD$ ， $PD \perp$ 底面 $ABCD.$

（I）证明∶ $PA \perp BD$ ;

（Ⅱ）若 $PD =AD$ ，求二面角 $A-PB-C$ 的余弦值.

2011年理数全国卷

参考答案：2011年理科数学全国卷题18

四面体~四棱锥：2009年理数海南卷题19（12 分）

如图，四棱锥 $S-ABCD$ 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 $\sqrt{2}$ 倍， $P$ 为侧棱 $SD$ 上的点.

（I）求证∶ $AC \perp SD$ ;

（Ⅱ）若 $SD \perp$ 平面 $PAC$ ，求二面角 $P-AC-D$ 的大小;

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱 $SC$ 上是否存在一点 $E$ ，使得 $BE$ // 平面 $PAC$ . 若存在，求 $SE:EC$ 的值；若不存在，试说明理由.

2009年理数海南卷

参考答案：2009年理数海南卷题19

常见四面体之二：有3个侧面为直角三角形的四面体

四面体：2007年理数海南卷题18（12 分）

18.（本小题满分12 分）

如图，在三棱锥 $S-ABC$ 中，侧面 $SAB$ 与侧面 $SAC$ 均为等边三角形， $\angle BAC=90°$ ， $O$ 为 $BC$ 的中点.

（Ⅰ）证明∶ $SO \perp$ 平面 $ABC$ ;

（Ⅱ）求二面角 $A-SC-B$ 的余弦值.

2007年理数海南卷题

参考答案：2007年理数海南卷题18

四面体：2009年文数海南卷题18（12 分）

如图，在三棱锥 $P - ABC$ 中， $\triangle PAB$ 是等边三角形， $\angle PAC= \angle PBC=90°.$

（Ⅰ）证明∶ $AB \perp PC$ ;

（Ⅱ）若 $PC=4$ ，且平面 $PAC \perp$ 平面 $PBC$ ，求三棱锥 $P-ABC$ 的体积.

2009年文数海南卷

参考答案：2009年文数海南卷题18

四面体：2016年文数全国卷A题18（12 分）

如图，已知正三棱锥 $P-ABC$ 的侧面是直角三角形， $PA=6$ . 顶点 $P$ 在平面 $ABC$ 内的正投影为点 $D，D$ 在平面 $PAB$ 内的正投影为点 $E$ ，连接 $PE$ 并延长交 $AB$ 于点 $G.$

（Ⅰ）证明∶ $G$ 是 $AB$ 的中点;

（Ⅱ）在图中作出点E在平面 PAC 内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体 $PDEF$ 的体积.

2016年文数全国卷A

参考答案：2016年文数全国卷A题18

四面体：2015年文数全国卷A题18 （12 分）

如图，四边形 $ABCD$ 为菱形， $G$ 为 $AC$ 与 $BD$ 的交点， $BE \perp$ 平面 $ABCD$ .

（Ⅰ）证明∶平面 $AEC \perp$ 平面 $BED$ ;

（Ⅱ）若 $\angle ABC=120°，AE \perp EC$ ，三棱锥 $E-ACD$ 的体积为 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ ，求该三棱锥的侧面积.

2015年文数全国卷A

提示：这个题用几何方法，有两种思路。注意其中的四面体与2016年文数全国卷A的关系。

参考答案：2015年文科数学全国卷A18

四面体：2019年全国卷A题12（5分）

12.已知三棱锥 $P-ABC$ 的四个顶点在球 $O$ 的球面上， $PA=PB=PC$ ， $\triangle ABC$ 是边长为 2 的正三角形， $E，F$ 分别是 $PA，AB$ 的中点， $\angle CEF=90°$ ，则球 $O$ 的体积为

$A.8\sqrt{6}\pi \qquad B.4\sqrt{6}\pi \qquad C.2\sqrt{6}\pi \qquad D.\sqrt{6}\pi$

参考答案：2019年全国卷A题12~常用四面体之二

四面体：2020年理数全国卷A题18（12 分）

如图， $D$ 为圆锥的顶点， $O$ 是圆锥底面的圆心， $AE$ 为底面直径， $AE=AD$ . $\triangle ABC$ 是底面的内接正三角形， $P$ 为 $DO$ 上一点， $PO= \dfrac{\sqrt{6}}{6} DO$ .

（1）证明∶ $PA \perp$ 平面 $PBC$ ;

（2）求二面角 $B-PC-E$ 的余弦值.

2020年全国卷A

向量法解答：2020年全国卷A题18

几何法解答：2020年全国卷A题18

四面体：2015年理数全国卷A题18（12 分）

如图，四边形 $ABCD$ 为菱形， $\angle ABC=120°$ ， $E，F$ 是平面 $ABCD$ 同一侧的两点， $BE \perp$ 平面 $ABCD$ ， $DF \perp$ 平面 $ABCD$ , $BE=2DF, \; AE \perp EC.$

（Ⅰ）证明∶平面 $AEC \perp$ 平面 $AFC$ ;

（Ⅱ）求直线 $AE$ 与直线 $CF$ 所成角的余弦值.

2015年理数全国卷A

参考答案：2015年理数全国卷A题18

折纸类问题

折纸：2011年理科数学陕西卷题16 （12分）

如图，在 $\triangle ABC$ 中， $\angle ABC=60°，\angle BAC=90°$ ， $AD$ 是 $BC$ 上的高，沿 $AD$ 把 $\triangle ABD$ 折起，使 $\angle BDC=90°.$

（I）证明∶平面 $ADB \perp$ 平面 $BDC$ ;

（Ⅱ）设 $E$ 为 $BC$ 的中点，求 $\overrightarrow{AE}$ 与 $\overrightarrow{DB}$ 夹角的余弦值.

2011年理科数学陕西卷

参考答案：2011年理数陕西卷题16

折纸：2018年文数全国卷A题18（12分）

如图，在平行四边形 $ABCM$ 中， $AB=AC=3$ ， $\angle ACM=90°$ .以 $AC$ 为折痕将 $\triangle ACM$ 折起，使点 $M$ 到达点 $D$ 的位

置，且 $AB \perp DA.$

（1）证明∶平面 $ACD \perp$ 平面 $ABC$ ;

（2） $Q$ 为线段 $AD$ 上一点， $P$ 为线段 $BC$ 上一点，且 $BP=DQ=\dfrac{2}{3}DA$ ，求三棱锥 $Q-ABP$ 的体积.

2018年文数全国卷A

参考答案：2018年文数全国卷A题18

折纸：2018年理数全国卷A题18（12分）

如图，四边形 $ABCD$ 为正方形， $E，F$ 分别为 $AD，BC$ 的中点，以 $DF$ 为折痕把 $\triangle DFC$ 折起，使点 $C$ 到达点 $P$ 的位置，且 $PF \perp BF$ .

（1）证明∶平面 $PEF \perp$ 平面 $ABFD$ ;

（2）求 $DP$ 与平面 $ABFD$ 所成角的正弦值.

提示：分别用几何法和向量法解答，并作比较分析。

2018年理数全国卷A

参考答案：2018年理数全国卷A题18：用勾股定理求解

参考答案：2018年理数全国卷A题18：用体积公式求解

折纸：2019年文数全国卷C题19

（12分）图1是由矩形 $ADEB，Rt \triangle ABC$ 和菱形 $BFGC$ 组成的一个平面图形，其中 $AB=1，BE=BF=2，\angle FBC=60°.$ 将其沿 $AB，BC$ 折起使得 $BE$ 与 $BF$ 重合，连接 $DG$ ，如图 2.

（1）证明∶图2中的 $A，C，G，D$ 四点共面，且平面 $ABC \perp$ 平面 $BCGE$ ;

（2）求图2中的四边形 $ACGD$ 的面积.

2019年文数全国卷C

参考答案：2019年文数全国卷C题19

折纸：2019年理数全国卷C题19（12分）

图1是由矩形 $ADEB，Rt \triangle ABC$ 和菱形 $BFGC$ 组成的一个平面图形，其中 $AB=1，BE=BF=2，\angle FBC=60°.$ 将其沿 $AB，BC$ 折起使得 $BE$ 与 $BF$ 重合，连接 $DG$ ，如图2.

（1）证明∶图2中的 $A，C，G，D$ 四点共面，且平面 $ABC \perp$ 平面 $BCGE$ ;

（2）求图2 中的二面角 $B-CG-A$ 的大小.

2019年理数全国卷C

参考答案：2019年理数全国卷C题19

棱柱

三棱柱：2012年文数全国卷题19

（19）（本小题满分 12 分）

如图，三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，侧棱垂直底面， $\angle ACB=90°, AC=BC=\dfrac{1}{2} AA_1, D$ 是棱 $AA_1$ 的中点.

（I）证明∶平面 $BDC_1 \perp$ 平面 $BDC$ ;

（Ⅱ）平面 $BDC_1$ 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

2012年文数全国卷

参考答案：2012年文数题19

三棱柱：2012年理数全国卷题19

（19）（本小题满分12 分）

如图，直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $AC=BC=\dfrac{1}{2} AA_1, D$ 是棱 $AA_1$ 的中点. $DC_1 \perp BD.$

（Ⅰ）证明∶ $DC_1 \perp BC$ ;

（Ⅱ）求二面角 $A1-BD-C_1$ 的大小.

2012年理数全国卷

提示：二面角的余弦值可以用两个三角形的面积比求出。可参考以下考题：2004年文数全国卷三题21.

参考答案：2012年理数题19

三棱柱：2020年全国卷B题20

20.（12 分）

如图，已知三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的底面是正三角形，侧面 $BB_1C_1C$ 是矩形， $M,N$ 分别为 $BC，B_1C_1$ 的中点， $P$ 为 $AM$ 上一点，过 $B_1C_1$ 和 $P$ 的平面交 $AB$ 于 $E$ ，交 $AC$ 于 $F$ .

（1）证明∶ $AA_1 // MN$ , 且平面 $A_1AMN \perp$ 平面 $EB_1C_1F$ ;

（2）设 $O$ 为 $\triangle A_1B_1C_1$ 的中心. 若 $AO$ // 平面 $EB_1C_1F$ ,且 $AO=AB$ ，求直线 $B_1E$ 与平面 $A_1AMN$ 所成角的正弦值.

2020年全国卷B

参考答案：2020年全国卷B题20

三棱柱~菱形：2013年理数全国卷A题18

（18）（本小题满分12分）

如图，三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $CA=CB,AB=AA_1,\angle BAA_1=60°.$

（I）证明∶ $AB \perp A_1C$ ;

（Ⅱ）若平面 $ABC \perp$ 平面 $AA_1B_1B$ , $AB=CB$ ，求直线 $A_1C$ 与平面 $BB_1C_1C$ 所成角的正弦值.

2013年理数全国卷A

提示：第一问与2007年海南卷基于同一题根。

第二问，你应该分别用两种方法解答：几何方法、向量方法。解答完成后，比较一下两种方法的优劣。

这个题对于锻炼空间想象能力大有好处，值得多花一些时间。

参考答案：2013年理数卷A题18：几何法求线面角

三棱柱~菱形：2013年文数全国卷A题19

（19）（本小题满分12 分）

如图，三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $CA=CB,AB=AA_1, \angle BAA_1=60°.$

（Ⅰ）证明∶ $AB \perp A_1C$ ;

（Ⅱ）若 $AB=CB=2, A_1C=\sqrt{6}$ ，求三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的体积.

2013年文数全国卷A

提示：本题的第一问，与2007年文数海南卷，基于同一题根。

参考答案：2013年文数卷A题19

三棱柱~菱形：2014年理数全国卷A题19

（19）（本小题满分12 分）

如图，三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，侧面 $BB_1C_1C$ 为菱形， $AB \perp B_1C$ .

（Ⅰ）证明∶ $AC=AB_1$ ；

（Ⅱ）若 $AC \perp AB_1, \angle CBB_1=60°, AB=BC$ ，求二面角 $A-A_1B_1-C_1$ 的余弦值.

2014年理数全国卷A

提示1：这个题的基本模型是棱柱。但从棱柱中可以拆出一个我们熟悉的基本模型。注意：四面体 $A-BB_1C$ 与2007年海南卷中的模型一致。

提示2：二面角的余弦值，可以用向量方法，也可以用几何方法求出。在完成之后，自己对比一下。

这个题对于锻炼空间想象能力大有好处，值得多花一些时间。

参考答案：2014年理数卷A题19

三棱柱~菱形：2014年文数全国卷A题19

（19）（本小题满分12 分）

如图，三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，侧面 $BB_1C_1C$ 为菱形， $B_1C$ 的中点为 $O$ ，且 $AO \perp$ 平面 $BB_1C_1C.$

（I）证明∶ $B_1C \perp AB$ ;

（Ⅱ）若 $AC \perp AB_1, \angle CBB_1=60°, BC=1$ ，求三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的高.

2014年文数全国卷A

参考答案：2014年文数全国卷A题19

四棱柱：2019年文数全国卷B题17

7.（12分）

如图，长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的底面 $ABCD$ 是正方形，点 $E$ 在棱 $AA_1$ 上， $BE \perp EC_1.$

（1）证明∶ $BE \perp$ 平面 $EB_1C_1$ ;

（2）若 $AE=A_1E, AB=3$ ，求四棱锥 $E-BB_1C_1C$ 的体积.

2019年文数全国卷B

参考答案：2019年文数全国卷B题17

四棱柱：2019年理数全国卷A题18

18.（12 分）

如图，直四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的底面是菱形， $AA_1=4, AB=2，\angle BAD=60°$ ， $E，M，N$ 分别是 $BC,BB_1,A_1D$ 的中点.

（1）证明∶ $MN//$ 平面 $C_1DE$ ;

（2）求二面角 $A-MA_1-N$ 的正弦值.

2019年理数全国卷A

参考答案：2019年理数全国卷A题18

四棱柱：2020年全国卷C题19

19.（12 分）

如图，在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，点 $E,F$ 分别在棱 $DD_1, BB_1$ 上，且 $2DE=ED_1，BF=2FB_1.$

（1）证明∶点 $C_1$ 在平面 $AEF$ 内;

（2）若 $AB=2，AD=1，AA_1=3$ ，求二面角 $A-EF-A_1$ 的正弦值.

2020年全国卷C

参考答案：2020年全国卷C题19

四棱柱：2019年文数全国卷A题19

19.（12分）

如图，直四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的底面是菱形， $AA_1=4, AB=2，\angle BAD=60°$ ， $E，M，N$ 分别是 $BC,BB_1,A_1D$ 的中点.

（1）证明∶ $MN//$ 平面 $C_1DE$ ;

（2）求点 $C$ 到平面 $C_1DE$ 的距离.

2019年文数全国卷A

参考答案：2019年文数全国卷A题19

四棱锥

四面体与四棱锥：2009年理数海南卷题19（12 分）

如图，四棱锥 $S-ABCD$ 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 $\sqrt{2}$ 倍， $P$ 为侧棱 $SD$ 上的点.

（I）求证∶ $AC \perp SD$ ;

（Ⅱ）若 $SD \perp$ 平面 $PAC$ ，求二面角 $P-AC-D$ 的大小;

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱 $SC$ 上是否存在一点 $E$ ，使得 $BE$ // 平面 $PAC$ . 若存在，求 $SE:EC$ 的值；若不存在，试说明理由.

2009年理数海南卷

提示：

（1）分析以下三角形的形状特征： $\triangle SAC, \triangle SBD, \triangle ABC, \triangle ADC$

（2）可以参考以下考题：2007年文数海南卷、2017年全国卷C（文数+理数）

参考答案：2009年理数海南卷题19

2014年文数全国卷B18

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形， $PA\perp$ 平面 $ABCD$ ， $E$ 为 $PD$ 的中点.

（Ⅰ）证明∶ $PB$ // 平面 $AEC$ ;

（Ⅱ）设 $AP=1,\,AD=\sqrt{3}$ ，三棱锥 $P-ABD$ 的体积 $V=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $A$ 到平面 $PBC$ 的距离.

2014年文数全国卷B18

参考答案：2014年文数全国卷B18

2014年理数全国卷B题18

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形， $PA\perp$ 平面 $ABCD$ ， $E$ 为 $PD$ 的中点.

（Ⅰ）证明∶ $PB$ // 平面 $AEC$ ;

（Ⅱ）设二面角 $D-AE-C$ 为 $60°$ ， $AP=1,AD=\sqrt{3}$ ，求三棱锥 $E-ACD$ 的体积.

2014年理数全国卷B18

参考答案：2014年理数全国卷B题18

四棱锥：2010年理数全国卷题18（12分）

如图，已知四棱锥 $P-ABCD$ 的底面为等腰梯形， $AB//CD，AC \perp BD$ ，垂足为 $H$ ， $PH$ 是四棱锥的高， $E$ 为 $AD$ 中点.

（1）证明∶ $PE \perp BC$ ;

（2）若 $\angle APB=\angle ADB =60°$ ，求直线 $PA$ 与平面 $PEH$ 所成角的正弦值.

2010年理数全国卷

参考答案：2010年理数全国卷题18

四棱锥：2010年文数全国卷题18（12分）

如图，已知四棱锥 $P-ABCD$ 的底面为等腰梯形， $AB//CD，AC \perp BD$ ，垂足为 $H$ ， $PH$ 是四棱锥的高.

（1）证明∶平面 $PAC \perp$ 平面 $PBD$ ;

（2）若 $AB=\sqrt{6},\; \angle APB=\angle ADB =60°$ ，求四棱锥 $P-ABCD$ 的体积.

2010年文数全国卷

参考答案：2010年文数全国卷题18

四棱锥：2011年理科数学北京卷题16（14分）

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中， $PA \perp$ 平面 $ABCD$ ，底面 $ABCD$ 是菱形， $AB=2, \angle BAD=60°.$

（Ⅰ）求证∶ $BD \perp$ 平面 $PAC$ ;

（Ⅱ）若 $PA=AB$ ，求 $PB$ 与 $AC$ 所成角的余弦值;

（Ⅲ）当平面 $PBC$ 与平面 $PDC$ 垂直时，求 $PA$ 的长.

2011年理科数学北京卷

四棱锥：2012年理科数学大纲卷题18（12 分）

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为菱形， $PA \perp$ 底面 $ABCD$ ， $AC=2\sqrt{2}，PA=2$ ， $E$ 是 $PC$ 上的一点， $PE=2EC.$

（Ⅰ）证明∶ $PC \perp$ 平面 $BED$ ;

（Ⅱ）设二面角 $A-PB-C$ 为 $90°$ ，求 $PD$ 与平面 $PBC$ 所成角的大小.

2012年理科数学大纲卷

参考答案：2012年理科数学大纲卷题18

四棱锥：2016年理数全国卷C题19（12分）

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中， $PA\perp$ 底面 $ABCD，AD//BC$ , $AB=AD=AC=3$ , $PA=BC=4$ ， $M$ 为线段 $AD$ 上一点， $AM =2MD$ ， $N$ 为 $PC$ 的中点.

（I）证明 $MN$ //平面 $PAB$ ;

（Ⅱ）求直线 $AN$ 与平面 $PMN$ 所成角的正弦值.

2016年理数全国卷C

参考答案：2016年理数全国卷C题19

四棱锥：2016年文数全国卷C题19（12分）

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中， $PA\perp$ 底面 $ABCD，AD//BC$ , $AB=AD=AC=3$ , $PA=BC=4$ ， $M$ 为线段 $AD$ 上一点， $AM =2MD$ ， $N$ 为 $PC$ 的中点.

（I）证明 $MN //$ 平面 $PAB$ ;

（Ⅱ）求四面体 $N-BCM$ 的体积.

2016年文数全国卷C

参考答案：2016年文数全国卷C题19

四棱锥：2017年文数全国卷A题18 （12 分）

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中， $AB//CD$ ，且 $\angle BAP= \angle CDP=90°.$

（1）证明∶平面 $PAB \perp$ 平面 $PAD$ ;

（2）若 $PA=PD=AB=DC，\angle APD=90°$ ，且四棱锥 $P-ABCD$ 的体积为 $\dfrac{8}{3}$ ，求该四棱锥的侧面积.

2017年文数全国卷A

参考答案：2017年全国卷A题18

四棱锥：2017年理数全国卷A题18（12 分）

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中， $AB//CD$ ，且 $\angle BAP= \angle CDP=90°.$

（1）证明∶平面 $PAB \perp$ 平面 $PAD$ ;

（2）若 $PA=PD=AB=DC，\angle APD=90°$ ，求二面角 $A-PB -C$ 的余弦值.

2017年理数全国卷A

提示：此题用几何方法解答效率较高。注意几个三角形的形状特征。可以参考一下这个题：2007年文数海南卷。

参考答案：2017年全国卷A题18

四棱锥：2017年文数全国卷B题18（12分）

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，侧面 $PAD$ 为等边三角形且垂直于底面 $ABCD$ ， $AB=BC=\dfrac{1}{2}AD，\angle BAD=\angle ABC=90°.$

（1）证明∶直线 $BC$ // 平面 $PAD$ ;

（2）若 $\triangle PCD$ 的面积为 $2\sqrt{7}$ ，求四棱锥 $P-ABCD$ 的体积.

2017年文数全国卷B

参考答案：2017年文数全国卷B题18

四棱锥：2017年理数全国卷B题19（12分）

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，侧面 $PAD$ 为等边三角形且垂直于底面 $ABCD$ ， $AB=BC=\dfrac{1}{2}AD，\angle BAD=\angle ABC=90°$ ， $E$ 是 $PD$ 的中点.

（1）证明∶直线 $CE$ //平面 $PAB$ ;

（2）点 $M$ 在棱 $PC$ 上，且直线 $BM$ 与底面 $ABCD$ 所成角为 $45°$ ，求二面角 $M-AB-D$ 的余弦值.

2017年理数全国卷B

参考答案：2017年理数全国卷B题19

四棱锥：2016年理科数学北京卷题17

（17）（本小题14 分）

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，平面 $PAD \perp$ 平面 $ABCD$ ， $PA \perp PD, PA=PD$ , $AB \perp AD$ , $AB=1,AD=2,AC=CD=\sqrt{5}$ .

2016年理数北京卷题17

（Ⅰ）求证∶ $PD \perp$ 平面 $PAB$ ;

（Ⅱ）求直线 $PB$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值;

（Ⅲ）在棱 $PA$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $BM$ // 平面 $PCD$ ？若存在，求 $\dfrac{AM}{AP}$ 的值；若不存在，说明理由.

参考答案：2016年理数北京卷题17

长方体类问题

长方体：2008年文数海南卷题18（ 12 分）

如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位∶cm）. （I）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;

（Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积;

（Ⅲ）在所给直观图中连结 $BC'$ ，证明∶ $BC'$ //面 $EFG.$

2008年文数海南卷

长方体：2008年理数海南卷题18（ 12 分）

如图，已知点 $P$ 在正方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 的对角线 $BD'$ 上， $\angle PDA=60°.$

（Ⅰ）求 $DP$ 与 $CC'$ 所成角的大小;

（Ⅱ）求 $DP$ 与平面 $AA'D'D$ 所成角的大小.

2008年理数海南卷

长方体：2015年文数全国卷B题19（ 12 分）

如图，长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中， $AB=16,BC=10,AA_1=8$ ，点 $E,F$ 分别在 $A_1B_1, D_1C_1$ 上， $A_1E=D_1F=4.$ 过点 $E,F$ 的平面 $\alpha$ 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）;

（Ⅱ）求平面 $\alpha$ 把该长方体分成的两部分体积的比值.

2015年文数全国卷B

长方体：2015年理数全国卷B题19（ 12 分）

如图，长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中， $AB=16，BC=10，AA_1=8$ ，点 $E,F$ 分别在 $A_1B_1,D_1C_1$ 上， $A_1E=D_1F=4.$ 过点 $E,F$ 的平面 $\alpha$ 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）;

（Ⅱ）求直线 $AF$ 与平面 $\alpha$ 所成角的正弦值.

2015年理数全国卷B

适合用向量法解答的立体几何问题

四棱锥：2016年理数全国卷A题18（12分）

如图，在以 $A,B,C,D,E,F$ 为顶点的五面体中，面 $ABEF$ 为正方形， $AF =2FD$ ， $\angle AFD= 90°$ ，且二面角 $D-AF-E$ 与二面角 $C-BE-F$ 都是 $60°.$

（I）证明∶平面 $ABEF \perp$ 平面 $EFDC$ ;

（Ⅱ）求二面角 $E-BC-A$ 的余弦值.

2016年理数全国卷A

参考答案：2016年理数全国卷A题18

三棱柱：2013年文数全国卷B题18（12分）

如图，直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $D,E$ 分别是 $AB,BB_1$ 的中点.

（I）证明∶ $BC_1$ //平面 $A_1CD$ ;

（Ⅱ）设 $AA_1=AC=CB=2, AB=2\sqrt{2}$ ，求三棱锥 $C-A_1DE$ 的体积.

2013年文数全国卷B

参考答案：2013年文数全国卷B题18

三棱柱：2013年理数全国卷B题18（12分）

如图，直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $D,E$ 分别是 $AB,BB_1$ 的中点， $AA_1=AC=CB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}AB.$

（I）证明∶ $BC_1$ //平面 $A_1CD$ ;

（Ⅱ）求二面角 $D-A_1C-E$ 的正弦值.

2013年理数全国卷B

参考答案：2013年理数全国卷B题18

折纸：2016年文数全国卷B题19（12分）

如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ，点 $E，F$ 分别在 $AD,CD$ 上， $AE=CF,EF$ 交 $BD$ 于点 $H$ . 将 $\triangle DEF$ 沿 $EF$ 折到 $\triangle D'EF$ 的位置.

（I）证明∶ $AC \perp HD'$ ;

（Ⅱ）若 $AB=5,AC=6,AE=\dfrac {5}{4}, OD'=2\sqrt{2}$ ，求五棱锥 $D'-ABCFE$ 的体积.

2016年文数全国卷B

参考答案：2016年文数全国卷B题19

折纸：2016年理数全国卷B题19（12分）

如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ， $AB=5,AC =6$ ，点 $E,F$ 分别在 $AD,CD$ 上， $AE=CF= \dfrac {5}{4}$ ， $EF$ 交 $BD$ 于点 $H$ . 将 $\triangle DEF$ 沿 $EF$ 折到 $\triangle D'EF$ 的位置， $OD'= \sqrt{10}.$

（I）证明∶ $D'H \perp$ 平面 $ABCD$ ;

（Ⅱ）求二面角 $B-D'A-C$ 的正弦值.

2016年理数全国卷B

参考答案：2016年理数全国卷B题19

2012年理数北京卷题16（14分）

如图1，在 $Rt \triangle ABC$ 中， $\angle C=90°, BC=3, AC=6$ ， $D,E$ 分别是 $AC,AB$ 上的点，且 $DE//BC$ ， $DE=2.$ 将 $\triangle ADE$ 沿 $DE$ 折起到 $\triangle A_1DE$ 的位置，使 $A_1C \perp CD$ ，如图2.