Unity基础（17）-四元数与欧拉角与矩阵

Unity中表示旋转有三种方式：四元数，欧拉角，矩阵

一、四元数

1、概念

Quaternion中存放了x，y，z，w四个数据成员，可以用下标来进行访问，对应的下标分别是0,1,2,3
其实最简单来说：四元数就是表示一个3D物体的旋转，它是一种全新数学数字，甚至不是复数。
四元数其实就是表示旋转。

1、四元数的书写格式

q = w v  这里w是标量，v是向量
另一种表示格式
q = w(x,y,z) 看到这里我们就熟悉了。

一般我们在Unity中表示旋转的方式：
c.Rotate (new Vector3(10,0,0));
c.Rotate (Quaternion.identity * Vector3.left);

2、Unity中四元数API

• 1.来把角度转化为相应四元素

Quaternion rot=Quaternion.Euler(30，60，90)；
旋转顺序是，先绕Z轴转动90度，再绕X轴转动30度，最后绕Y轴转动60度

• 2.绕指定轴旋转指定角度相应的四元素

Quaternion rot= Quaternion.AngleAxis(60, transform.forward);
意思为绕自身正方向转60度其相应的四元素，当然了，第一个参数可以是其他方向变量

• 3.两个四元素相乘，代表按顺序进行两次旋转

Quaternion rot1=Quaternion.Euler（0，30，0）；
Quaternion rot2=Quaternion.Euler（0，0，45）；
Quaternion rot=rot2*rot1；
意思是先绕y旋转30度再绕z旋转45度，所以，你要先绕哪个四元素先旋转就放最右边

• 4.四元素与向量相乘，得到的是将原向量旋转后的新向量

Vector3 to = Quaternion.AngleAxis(45, Vector3.up)* Vector3.forward    
to是将Vector3.forward绕Vector3.up旋转45度后得到的新向量

• 5.已知两个向量，求从一个向量转到另一个向量的四元数：

Quaternion rot=Quaternion.FromToRotation(Vector3.up，Vector3.forward);
这的意思是创建一个从y轴正方向到z轴正方向的旋转角度所对应的四元数
例子：
Vector3 aimDirection=(targetTrans.position – transform.position).normalized;
Quaternion rot = Quaternion.FromToRotation（transform.up，aimDirection）；
transform.rotation = rot * transform.rotation;
此游戏对象自身转向这个计算出来的偏转角所对应的四元数，如果将此至于Update中就可以做到不断对准目标

• 6.创建一个让Z轴正方向和Y轴正方向指向规定方向的旋转

Quaternion rot = Quaternion.LookRotation(Vector3.right, Vector3.down);
这的意思是创建一个让Z轴正方向指向世界坐标x轴正向，y轴正方向竖直向下的旋转角度所对应的四元数
Vector3 vr = new Vector3(1,0,0);  
Quaternion q = Quaternion.LookRotation(vr);  

void SetLookRotation(Vector3 view);
void SetLookRotation(Vector3 view,Vector3 up);

也是根据指定的向前和向上向量创建四元数，本质计算过程和LookRotation一样，
只不过LookRotation是Quaternion上的静态函数，而SetLookRotation则是Quaternion的成员函数。

• 7.已知两个由四元数代表的旋转角度，求出从一个角度渐变到另一个角度的增量

Quaternion rot=Quaternion.Euler（0，30，0）
Quaternion targetRot= rot*transform.rotation；
transform.rotation= Quaternion.RotateTowards（transform.rotation，targetRot，90*Time.deltaTime）；
意思为游戏对象的角度会逐渐向targetRot以90*Time.deltaTime的角速度(90度每秒)逐渐逼近,因为这代码并不能够在一帧中完成所以要放于update中

• 8.两个四元数之间的线性插值lerp

transform.rotation=Quaternion.Lerp（transform.rotation，Vector3.up，0.5f）；
第一个参数是起始的角度所对应的四元数
第一个参数是终点的角度所对应的四元数
第三个参数是这个过程需要多少秒

• 9.两个四元数之间的球形插值Slerp

transform.rotation=Quaternion.Slerp（transform.rotation，Vector3.up，0.5f）；
第一个参数是起始的角度所对应的四元数
第一个参数是终点的角度所对应的四元数
第三个参数是这个过程需要多少秒

• 10.旋转轴和旋转角度算出四元数

Quaternion RotateTowards(Quaternion from,Quaternion to, float maxDegreesDelta);
以maxDegreesDelta作为角度步长计算从from到[to]
根据旋转轴和旋转角度算出四元数

• 11.四元数对应的三个轴向的欧拉角

Quaternion.eulerAngles
存放四元数对应的三个轴向的欧拉角，分别是绕x轴、y轴、z轴旋转的角度

Quaternion q3 = new Quaternion();  
q3.eulerAngles = new Vector3(10, 30, 20);  
Quaternion qx3 = Quaternion.AngleAxis(10,Vector3.right);          
Quaternion qy3 = Quaternion.AngleAxis(30,Vector3.up);  
Quaternion qz3 = Quaternion.AngleAxis(20,Vector3.forward);            
Quaternion qxyz3 = qz3*qy3*qx3;  
从这里可以看出unity中旋转顺序也是按先绕x轴旋转，然后y，最后z。unity中对向量应用旋转量使用的是向量右乘，即如下：
Vector3 newV = qxyz3*v=qz3*qy3*qx3*v;

二、欧拉角

1、概念

1-描述定点转动刚体的位形需要三个独立坐标变量，即x,y,z
2-描述定轴转动的刚体的位形只需要一个独立坐标变量即转角。
3-将定点转动的过程分解为三个相互独立的定轴转动，相应的二三个相互独立的转角，即欧拉角。

2、什么是欧拉角？

Roll 滚动角 Z轴不动

Pitch 俯仰角 X轴不动

Heading(Yaw) 偏航角 ： 就是Y轴不动

Paste_Image.png

那么使用欧拉角表示旋转矩阵
绕Z轴旋转

这里的角度是偏航角

绕Y轴旋转

这里的角度是俯仰角

绕X轴旋转

这里的角度是翻滚角 Paste_Image.png 最后乘出来

所以说：

3、局限性

欧拉角会产生万向锁bug
一旦选择pitch角为±90°，就被限制在只能绕垂直轴旋转

三、矩阵

1、概念

unity中仅仅提供了一个4×4的矩阵类Matrix4x4，它可以包含位移T、旋转R和伸缩信息。矩阵中的元素都对应一个mxy的公有成员变量，因而要访问单个元素的话可以直接访问其成员。同时也提供了下标访问，如下

public float this [int row, int column]  
{  
    get  
    {  
       return this [row + column * 4];  
    }  
    set  
    {  
      this [row + column * 4] = value;  
    }  
}  
public float this [int index]  

四元数和旋转矩阵之间的转换

unity中没有提供直接的四元数到旋转矩阵的转换，但是使用它们的一些成员函数可以实现两者之间的转换。

• 1 四元数到旋转矩阵
  使用Matrix4x4的成员函数SetTRS
  void SetTRS(Vector3 pos,Quaternion q,Vector3 s);

Quaternion q = Quaternion.LookRotation(new Vector3(0,0.5,1));  
Matrix4x4 rot = new Matrix4x4();  
rot.SetTRS(new Vector3(0,0,0),q,new Vector3(1,1,1)); 

• 2 旋转矩阵到四元数
  使用Quaternion类的LookRotation函数
  static Quaternion LookRotation(Vector3 forward,Vector3 upwards);

Matrix4x4 rot = new Matrix4x4();  
rot.SetTRS(new Vector3(0,0,0),q,new Vector3(1,1,1));  
          
Vector4 vy = rot.GetColumn(1);  
Vector4 vz = rot.GetColumn(2);  
          
Quaternion q = Quaternion.LookRotation(new Vector3(vz.x,vz.y,vz.z),new Vector3(vy.x,vy.y,vy.z));

• 3 矩阵的坐标转换

        // 矩阵 从自身矩阵转成世界矩阵
        Matrix4x4 ma = tf.localToWorldMatrix;
        // 矩阵  从世界矩阵转成自身矩阵
        Matrix4x4 ma1 = tf.worldToLocalMatrix;