chpt.1 模型系统的态（3）

2019-12-19 本文已影响0人有限与微小的面包

介绍完了一个系统态的总数的表示法，我们现在来考虑如何进一步地表示和计算系统中的每一个态。

$\boldsymbol{\mathrm{I}}.$ 态的枚举

现在我们将系统的磁体方向改称为自旋(spin)。我们将朝上的磁体称为上旋(spin up)，将朝下的称为下旋(spin down)。

设 $N$ 为偶数，上旋的态个数可以表示为： $N_{\uparrow} = \frac{1}{2}N + s$ ，下旋的态个数可以表示为： $N_{\downarrow} = \frac{1}{2}N - s$ ，其中 $s$ 属于整数。

我们需要找出这两个态个数的数学表达式。

首先需要指出的是，这样表示的好处在于，我们现在可以单独地考虑这两种态的变化情况了。

根据上述定义，两个态个数的差为

$N_{\uparrow} - N_{\downarrow} = 2s$

我们把这个差值称为自旋余量(spin excess)。顾名思义，这是当所有上下旋成对的磁体抵消之后余下的自旋个数。

（例）

（i）

一个含有 $N$ 个极化磁体的系统态（要么全部上旋，要么全部下旋），它的自旋余量则为 $\pm N$ ，或者 $s = \pm \frac{N}{2}$ 。

若 $s = \frac{N}{2}$ ，分别代入上旋和下旋的态个数定义，可以得到 $N_{\uparrow} = N$ ， $N_{\downarrow} = 0$ 。表明该态 $N$ 个“位置”上都是上旋。

若 $s = -\frac{N}{2}$ ，分别代入上旋和下旋的态个数定义，可以得到 $N_{\uparrow} = 0$ ， $N_{\downarrow} = N$ 。表明该态 $N$ 个“位置”上都是下旋。

（ii）

如果自旋余量为 $0$ ，或者 $s = 0$ 时，系统的态所含上旋的数量刚好与下旋的数量相等，即 $N_{\uparrow} = N_{\downarrow} = \frac{N}{2}$ 。

$\bullet$ 当系统中有一个磁体从上旋变为下旋时，上旋的态个数就可以表示为

$N_{\uparrow} = \frac{1}{2}N + s - 1$

下旋的态个数相应可以表示为

$N_{\downarrow} = \frac{1}{2}N - s + 1$

自旋余量

$N_{\uparrow} - N_{\downarrow} = 2s -2$

（同样也考虑了矢量抵消的特性）

$\boldsymbol{\mathrm{I\!I}}.$ 重性函数/简并函数

$\bullet$ 如果我们现在只关注一个态中究竟有多少个上下旋，并不关注它们所占据的“位置”时，可以直接将右下角的角标省去。（“位置”之间将会变得无法区分，但并未丢失任何关于自旋的信息。）

（例）

（i）对于 $N = 2$ 的系统，我们有

$(\big\uparrow + \big\downarrow)^2 = \big\uparrow\big\uparrow + 2\big\uparrow\big\downarrow + \big\downarrow\big\downarrow$

（ii）对于 $N = 3$ 的系统，则有

$(\big\uparrow + \big\downarrow)^3 = \big\uparrow\big\uparrow\big\uparrow + 3\big\uparrow\big\uparrow\big\downarrow + 3\big\uparrow\big\downarrow\big\downarrow + \big\downarrow\big\downarrow\big\downarrow$

（i）

我们现在想要知道，对于任意的磁体数 $N$

$(\big\uparrow + \big\downarrow)^N = \quad?$

我们知道，对于任意 $x$ 和 $y$ ：

$(x+y)^N$

可以使用二项式展开

$\begin{align*}(x+y)^N &= x^N + Nx^{N-1}y + \frac{1}{2}N(N-1)x^{N-2}y^2 +...+y^N\\&= \sum_{t=0}^N \begin{pmatrix}N\\t\end{pmatrix}x^{N-t}y^t\\&= \sum_{t=0}^N\frac{N!}{(N-t)!t!}x^{N-t}y^t\end{align*}$

（ii）

现在，我们将表达式中的 $t$ 替换成 $\frac{1}{2}N - s$ ，所以需先确定加和的边界：

已知等式 $t = \frac{1}{2}N -s$

$\bullet$ 令 $t = 0$ ，可以解得 $s = -\frac{1}{2}N$ ，这是下限。

$\bullet$ 令 $t = N$ ，可以解得 $s = \frac{1}{2}N$ ，这是上限。

于是

$(x+y)^N = \sum_{s = -\frac{1}{2}N}^{\frac{1}{2}N}\frac{N!}{(\frac{1}{2}N + s)!(\frac{1}{2}N-s)!}x^{\frac{1}{2}N + s}y^{\frac{1}{2}N - s}$

所以，只需将变量 $x$ 和 $y$ 替换成箭头即可：

$(\big\uparrow+\big\downarrow)^N = \sum_{s = -\frac{1}{2}N}^{\frac{1}{2}N}\frac{N!}{(\frac{1}{2}N + s)!(\frac{1}{2}N-s)!}\big\uparrow^{\frac{1}{2}N + s}\big\downarrow^{\frac{1}{2}N - s}$

（iii）

表达式中 $\big\uparrow^{\frac{1}{2}N + s}\big\downarrow^{\frac{1}{2}N - s}$ 前面的系数代表了任何含有上旋 $N_{\uparrow} = \frac{1}{2}N +s$ 和下旋 $N_{\downarrow} = \frac{1}{2}N -s$ 的态的个数。（这些态可以只含有上旋，只含有下旋或者两者皆含有）

（iv）

这些态的自旋余量 $N_{\uparrow} - N_{\downarrow} = 2s$ ，净磁矩为 $2sm$ 。

（v）

这个系数是一个关于磁体数 $N$ 以及整数 $s$ 的函数，我们用 $g(N,s)$ 来表示，则

$\boxed{g(N,s) = \frac{N!}{(\frac{1}{2}N + s)!(\frac{1}{2}N-s)!} = \frac{N!}{N_{\uparrow}!N_{\downarrow}!}}$

我们将 $g(N,s)$ 称为重性函数(multiplicity function)或者简并函数(degeneracy function)。它代表了任何含有上旋和下旋的态的重复次数（态的个数）；它也是含有相同整数 $s$ 的态的个数。

为什么？

让我们依旧考虑一个 $N = 2$ 的系统。

当我们选择加上表示“位置”顺序的角标时，像这样：

$\left(\big\uparrow_1 + \big\downarrow_1 \right)\left(\big\uparrow_2 + \big\downarrow_2 \right) = \big\uparrow_1\big\uparrow_2 + \big\uparrow_1\big\downarrow_2 + \big\downarrow_1\big\uparrow_2 + \big\downarrow_1\big\downarrow_2$

此时无论等式左右哪边，都不能使用缩写。因为态和态之间会有严格的区分。即使态 $\big\uparrow_1\big\downarrow_2$ 和态 $\big\downarrow_1\big\uparrow_2$ 都有 $s = 0$ ，但由于这两个态是截然不同的，所以它们各自都只会重复一次，即重性都为 $1$ 。事实上，当我们考虑使用角标时，所有的态都只会重复一次。在这种情况下，重性函数的定义就显得没有任何必要。

当我们忽略角标后，因为现在磁体的顺序已变得不再重要，我们可以随意地调整磁体的位置。这样一来，上述的那两个态将会变得无法区分——它们在忽略角标的情况下，变成了同一个态。这时，我们就可以大胆地说，在这个 $N =2$ 的系统中，拥有 $s=0$ 的态的个数为 $2$ ；它们的重性也为 $2$ 。

而在磁场中，含有不同 $s$ 的值的态具有不同的能量，所以重性函数的大小也代表了磁场中能级的重性，

（vi）

借助重性函数，含有 $N$ 个磁体的态现在可以表示为：

$(\big\uparrow+\big\downarrow)^N = \sum_{s = -\frac{1}{2}N}^{\frac{1}{2}N}g(N,s)\big\uparrow^{\frac{1}{2}N + s}\big\downarrow^{\frac{1}{2}N - s}$

（vii）更具重性函数的定义，不难得出，态的总数可以通过下述公式得到：

$\sum_{s = -\frac{1}{2}N}^{\frac{1}{2}N}g(N,s) = (1+1)^N = 2^N$

（例）

$N = 2$ 的系统，

$\sum_{s = -1}^{1}g(2,s) = \sum_{s = -1}^{1}\frac{2}{(1+s)!(1-s)!} = 4$

的确，系统所有态的个数为 $2^2 = 4$

（viii）

通过重性函数

$g(N,s) = \frac{N!}{(\frac{1}{2}N + s)!(\frac{1}{2}N-s)!} = \frac{N!}{N_{\uparrow}!N_{\downarrow}!}$

我们现在可以计算一个磁矩数为 $N$ 的系统具有任意 $s$ 的态的出现次数。

（例）

一个 $N=10$ 的系统，我们现在想要知道自旋余量 $2s = 6$ 的态出现的次数。

代入重性函数可得

$g(10,3) = \frac{10!}{(5 + 3)!(5-3)!} = 45$

即，在 $2^{10}$ 个态中，有 $45$ 个态拥有自旋余量 $6$ 。

在这些态中，上旋个数

$N_{\uparrow} = \frac{10}{2} + 3 = 8$

下旋个数

$N_{\downarrow} = \frac{10}{2} -3 = 2$